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1、2014 年 21 题 考研分析 直线与圆的位置关系与圆中相关计算 垂杨柳中学何平 第一部分 题目分析 一、题型特点： 1、 难度系数：,1,直线与圆的位置关系与圆中相关计算是每年北京中考的必考题型，题目位置为第 20 题 （特别值得注意是今年中考说明中要求，统计题目 21 题将与 20 题圆题目互换位置，即圆题 目位置变为 21 题位置），共两问，分值为 5 分，近三年考题难度系数为 0.62、0.53、0.72， 为中等难度，13 年因为第二问计算量的降低难度大幅下降,这也是以后中考命题的大方向。 相比较函数综合题（23 题）来说，圆的综合题比较开放，解决圆的问题不仅需要运用圆的 相关性质
2、，还需要三角形、四边形、三角函数、全等、相似等很多相关知识，另外需要学生 对各种基本图形都要很熟悉，对勾股定理和三角函数的计算、基础辅助线的做法也要得心应 手，综合性很强。此题具有较好的区分度，结合题目位置，能否做出此题对学生考试后半段 的情绪影响很大.顺利答好圆的综合题，是总分过百的有力保障。 2、20092013 第 20 题知识点总结： 20092013 第 20 题知识点总结,从近五年第 20 题可以看出 第一问 09、10 只涉及到切线的判定，从 11 年开始添加切线的性质，到 13 年只考了切线的 性质；第二问每年都涉及到解直角三角形，09、12 年还考到了相似三角形。,2,3、中
3、考说明中的变化： 就考试内容要求上与去年没有变化，A、B、C 级考点各一个。 但是，题目位置由原来的第 20 题的位置变动到第 21 题位置，与统计题目互换。,4、学生存在问题： 学生已经全面复习了圆的相关知识，能够应用这些知识比较顺利地解决圆的切线的证明 问题，并且能够在分析过程中有依据地选择辅助线。但是由于学生的分析、推理能力不是很 强，一部分学生不熟悉圆中的直角三角形、相似的基本图形，只有少部分学生能够灵活运用 解直角三角形、三角函数和相似三角形解题，因此大部分学生对解决中考 20 题中的第二问 圆中求线段问题还有一定的困难。,二、主要解题思路（思想方法） 方程思想、勾股定理（逆定理）利
4、用三角形相似计算线段长度、锐角三角函数的应用。 三、基本辅助线做法： 作平行线（垂线）构造相似三角形； 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等 作垂线段，构造直角三角形，利用勾股定理、锐角三角函数. 第二部分 题目类型 圆的切线的证明； 圆的切线的性质（角度推理）； 圆中相关计算。,O,D,C,B,A,第三部分 例题讲解,一、圆的切线的证明： 圆的切线的证明是重点考试内容，从 09-12 年都考了切线的证明（13 年改为证明角相 等），所以要格外重视。特别是辅助线的添加有时也占 1 分，这是每个学生都能拿到的分数。 常见的有关切线的添加辅助线的方法有：有切点连半径证垂直；无切点作垂直
5、证半径。,3,1、有值计算来加减： 例 1.（10 北京）20. 已知：如图，在ABC 中， D 是 AB 边上一点，O 过 D、B、C 三点，,DOC 2ACD 90 ,（1）求证：直线 AC 是O 的切线；,涉及考点：切线判定，圆的性质；,分析： 本类题目属于圆中切线证明中的相对简单的类型。当给定了特殊角度时，利用特殊 角度进行计算，凑出想要证明的切线与过切点的半径夹角为 90，即可运用切线的判定定 理证明出切线. 解答：(1) 证明：OD=OC，DOC=90， ODC=OCD=45， DOC=2ACD=90， ACD=45， ACDOCD=OCA=90， 点 C 在圆 O 上， 直线 A
6、C 是圆 O 的切线. 反思：重点指导如果想证明切线，先看圆心与切点有无连线，若没有连线，先添加辅助线， 得到 1 分。若类似本类题目给出了特殊角度值，想办法进行倒角计算，凑出 90。,D,E,F,A,O,C,练习如图，点 A，B，C 分别是O 上的点，B=60，AC=3，CD 是O 的直径，P 是 CD 延长线上的一点，且 AP=AC （1）求证：AP 是O 的切线； 解答：连接 OA B=60， AOC=120， 又OA=OC， ACO=OAC=30， AOP=60， AP=AC， P=ACP=30， OAP=90， OAAP，又OA 为半径 AP 是O 的切线， 2、无值推证或化一： 例
7、 2. （11 北京）20. 如图，在ABC， AB AC ，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于,2,点 D、E，点 F 在 AC 的延长线上，且CBF 1 CAB .,（1）求证：直线 BF 是O 的切线；,涉及考点：切线的判定，圆周角定理推论；,B 分析：本题与第一类题目的对比，难度有一定提升，题目没有给出特殊角度值，但是给出 了一些角的等量关系，可以通过等角传递的方法，推证出 90，再运用切线的判定定理证 明出切线.,解答： 证明：连结 AE . AB 是O 的直径， AEB 90 . 1 2 90. AB AC ，,2, 1 1 CAB .,4, CBF 1 CAB， 2 1
8、 CBF . CBF 2 90 . 即ABF 90 . AB 是O 的直径， 直线 BF 是O 的切线 反思：本类题型难点在于利用题目给出的角度的一些等量关系进行倒角，如果不能直接倒 出直角，需要观察图形添加辅助线，利用圆中的一些基本定理构造一些基本图形。 常见基本图形练习 1：（09 北京）20已知： 如图，在ABC 中， AB=AC， AE 是角平分线， BM 平分ABC 交 AE 于点 M，经过 B、M 两点的O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F， FB 恰为 O 的直径 （1） 求证：AE 与O 相切； 解答：证明：连结 OM，则 OMOB 12 BM 平分ABC， 13 23
9、OMBC AMOAEB 在ABC 中 ABAC，AE 是角平分线， AEBC AEB90AMO90OMAE AE 与O 相切 常见基本图形练习 2：（12 北京）已知：如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC,的延长线于点 E ，连结 BE ,于点 D ，过点C 作O 的切线，交OD （1）求证： BE 与O 相切； 解答：证明：连结OC .,EC 与 O 相切， C 为切点. ECO 90 . OB OC， OCB OBC. OD DC. DB DC. 直线OE 是线段 BC 的垂直平分线.,5, EB EC. ECB EBC. ECO EBO. EBO 90 . AB 是 O
10、的直径. BE 与 O 相切.,常见基本图形练习 3：（10 一模）20已知：如图，AB 为O 的直径，O 过 AC 的中点 D， DEBC 于点 E （1）求证：DE 为O 的切线； 解答：证明：连接 OD， AC 的中点 D，AB 的中点 O ODBC， DEBC， DODE， DE 为O 的切线;,方法合一：未知化一、方程思想。其实（类型一）之所简单，是因为有特殊角度值可以直 接通过一些加减运算。那么，对于复杂问题的（类型二）无特殊角度值时，也可以通 过设未知数的方法，把相关角度用含未知数的式子表示出来，就可以也类比（类型一） 进行加减运算，使问题得以解决。,二、圆的切线的性质（角度推理
11、）： 例 3.（13 北京）如图，AB 是O 的直径，PA，PC 分别与O 相切于点 A，C，PC 交 AB 的 延长线于点 D，DEPO 交 PO 的延长线于点 E. （1）求证：EPD=EDO 涉及考点：圆的切线的性质，切线长定理，圆的有关基本性质； 分析： 本题是利用切线长定理证明角相等，再利用有一组角相等的八 字形得到另一组角相等的基本图形进行倒角。,6,解答：（1）PA 、P C 与O分别相切于点A 、 C APO EPD 且PA AO 即PAO 90 AOP EOD ， PAO E 90 APO EDO 即EPD EDO 反思：对于中考 20 题中第（1）问中的圆的切线问题，不要思
12、维定式一定会考圆的切线的 判定，从 06-13 年中考中可以看出，从只涉及圆的切线的判定到利用圆的切线的性质证明圆 的切线，到 13 年，不考切线的判定只考切线的性质，今年的中考是考切线的判定还是性质 未知，所以要对切线全面复习。 练习 1：已知：如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，CD 是O 的切线，C 为切 点，ADCD 于点 D 求证：（1）AOC=2ACD； 解答：（1）连接 BC AB 是直径 ACB900 CAB+ABC900 OAOC OCACAB OCA+ABC900 CD 切圆 O 于C OCD900 OCA+ACD900 ACDABC OAOB ABCOCB AOCABC
13、+OCB2ABC AOC2ACD 练习 2：如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D， AD 交O 于点E. （1）求证：AC 平分DAB； 解答：（1）如图 1，连接 OC， CD 为O 的切线， OCCD， OCD90， ADCD，,7,D,E,F,A,O,C,B,ADC90， OCDADC180， ADOC， 12， OAOC， 23， 13，即 AC 平分DAB； 三、圆中相关计算： 例 4. （11 北京）20. 如图，在ABC， AB AC ，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC,1,2,于点 D、E，点 F 在 AC 的延长线上
14、，且CBF CAB .,（2） 若 AB 5 ， sin CBF 5 ，求 BC 和 BF 的长.,5 涉及考点：切线的判定与性质，圆周角定理推论；解直角三角形.,解法二：作 CHAB 于 H，容易求出 CH 和 AH 长 （面积法或三角函数），再利用相似即可求出 BF. 解法三：作 FMBC 交 BC 延长线于 M，可以观察 到基本的八字相似图形，并且由CBF 的正弦值 应能够想到其正切值为 1/2，进而由MCFMFB 建立方程.,分析：求圆中线段长是 20 题第（2）问的必考内容，题目综合性较强，需要学生具有解决 几何问题的综合能力和基本图形的识图能力。这就需要学生通过添加辅助线构造基本图
15、形， 利用相似三角形、锐角三角函数、勾股定理等相关内容计算出线段长。 解法一：作 CGBF，把 BF 分成 BG 和 FG 两部分， 在BCG 中可以用CBF 的正弦和BC 直接求 BG， 而 FG 则可以用相似或者三角函数构造方程来解决. G,H,M,8,解法四：作 FNBF 交 BC 延长线于 N，能够容易看出 基本图形CFNCAB，从而得到 FN 与 CN 的比， 设参数，用CBF 的正弦构造方程. 解法五：连接 BD，得到双垂直图，面积法求得 BD 和 AD 的长，再在大三角形中求 BF. 解法六：作 APBF 交 BC 的延长线于 P，解 RtABP， 求得 AP、CP，再由ACPF
16、CB 求得 BF.,反思：圆中求线段长，实质就是在一些图形里计算边长，常用的图形一般为三角形（四边 形也可转化为三角形），在直角三角形中用勾股定理或锐角三角函数，在一般三角形用相似 或等腰等边三角形的一些相关性质。所以，学生在构造辅助线时可尝试构造垂线的直角三 角形或构造八字形或 A 字形等特殊基本图形的方法即可得解。 练习：（12 朝阳）已知：如图，在ABC 中，点 D 在 AC 上，DA=DB，C=DBC，以 AB 为直,径的O 交 AC 于点 E，F 是O 上的点，且 AFBF （1）求证：BC 是O 的切线；,（2）若 sinC= 3 ，AE= 3 2 ，求 sinF 的值和 AF 的长,5 解答：（1）证明：DA=DB， DAB=DBA. 又C=DBC，,2,1,DBADBC180 90 .,ABBC.,又AB 是O 的直径， BC 是O 的切线.,（2）解：如图，连接 BE， AB 是O 的直径， AE
