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1、第三节 二阶系统的阶跃响应,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,2,本节内容,3.3.1、典型二阶系统的动态特性 3.3.2、二阶系统动态特性指标 3.3.3、二阶系统特征参数与动态性能指 标之间的关系 3.3.4、二阶工程最佳参数 3.3.5、零、极点对二阶系统动态性能的影响,1、二阶系统的传递函数,我们称二阶微分方程描述的系统为二阶系统，如 图3-10所示的位置随动系统的开环传递函数为：,系统的闭环传递函数为：,二阶系统闭环传递函数的标准形式为：,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,4,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,5,二阶系统的特征方程：,特征方
2、程的两个根（闭环极点）为：,二阶系统的标准结构图为：,2. 二阶系统闭环极点随阻尼系数变化的情况,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,7,二阶系统的时间响应取决于和n 这两个参数。 随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根具有不同的性质，从而系统的响应特性可分为以下几种情况： 过阻尼响应； 欠阻尼响应； 临界过阻尼响应； 无阻尼响应； 不稳定响应。,3.3.1、典型二阶系统的动态特性,2020/12/17,第三章 控制系统的时域分析,8,1、欠阻尼：,系统的闭环极点为：,称为阻尼自然振荡角频率。,单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。 当输入信号为： 则 输出的拉氏变换
3、为：,2020/12/17,第三章 控制系统的时域分析,9,系统闭环极点是一对共轭复数极点，因为实部 为负，所以位于平面左半平面。,2020/12/17,第三章 控制系统的时域分析,10,2020/12/17,第三章 控制系统的时域分析,11,2020/12/17,第三章 控制系统的时域分析,12,欠阻尼时，系统的阶跃响应 的第一项是稳态分量，第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正弦振荡，其振荡频率为：,称为阻尼自然振荡频率。,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,13,二阶系统单位阶跃响应的偏差为,（1）当 时，二阶系统单位阶跃响应 和其偏差 响应均为衰减的正弦振荡过程。二阶系统所具有
4、的衰减正弦振荡形式的响应称为欠阻尼响应。,小结：,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,14,（2）共轭复数极点实部的绝对值 决定了欠阻尼响应的衰减速度， 越大，即共轭复数极点离虚轴越远，欠阻尼响应衰减得越快。欠阻尼响应的振荡频率为 ，其值总小于系统的无阻尼自然振荡频率 。 （3）欠阻尼响应过程的偏差随时间的推移而减小，当时间趋于无穷时它趋于零。,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,15,二阶系统的欠阻尼响应曲线,响应为等幅振荡，为系统的无阻尼自然频率。,2.无阻尼：,单位阶跃输入时， ，输出的拉氏变换为：,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,16,2020/
5、12/17,第三章线性系统的时域分析,17,二阶系统的无阻尼响应曲线,2020/12/17,18,求其拉氏反变换，得：,此时二阶系统的单位阶跃响应为单调上升曲线。,3、临界阻尼：,第三章线性系统的时域分析,输出的变化率为:,二阶系统的临界阻尼单位阶跃响应曲线存在拐点,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,20,二阶系统的临界阻尼响应曲线,闭环极点为：, 是小于零的两个相异实根,均位于根平面的左半平面的实轴上。,3、过阻尼：,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,21,-P2,-P1,系统的单位阶跃响应可求得如下：,按不同极点的情况求系数,2020/12/17,第三章线性系统
6、的时域分析,22,求拉氏反变换，得：,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,24,1. 单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量两部分组成； 2. 而暂态分量包含两项衰减的指数项。 3. 当 时，第二项的衰减指数远大于第一项。 此时，可将第二项忽略，将系统近似为一阶系统。,近似传函与原传函的初始值和终值保持不变。,系统的响应时间为,相当于惯性时间常数,在工程上，当时，使用上述近似关系已有足够的准确度。,此时系统的单位阶跃响应为：,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,25,2020/12/17,第三章 控制系统的时域分析,26,近似计算值 （绿色）：,一般来说，当s1与虚轴的距离为
7、s2与虚轴的距离的五倍以上时即可用一阶系统来近似。（主导极点的概念）,二阶系统不同阻尼系数情况下的单位阶跃响应曲线,取横坐标为，不同阻尼比值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族如图所示：,从图可见： （）越小，振荡越厉害，当增大到以后，曲线变为单调上升。 （）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。 （）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。 （）过阻尼系统过渡过程时间长。,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,29,二阶系统的单位阶跃响应的影响,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,30,二阶系统的单位阶跃响应的小结,1、阻尼比越小，单位阶跃响应的振荡性越强，并在=0
8、时呈现等幅振荡，最终在负阻尼0时发展为发散振荡。 2、在欠阻尼响应中，当=0.40.8时的响应过程不仅具有比 =1时更短的调节时间，而且振荡程度也不严重。 3、对于有些不允许时间响应出现超调，而又希望响应速度较快的情况，可采用临界阻尼或过阻尼系统。 4、在阻尼比为定值的情况下，无阻尼自然振荡频率 越大，二阶系统的单位阶跃响应过程较快，调节时间较短。,稳定二阶系统的单位阶跃响应的小结, 增大,等幅振荡：,衰减振荡：,衰减：,衰减：,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,31,阻尼系数对控制系统的影响,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,34,阻尼系数对控制系统的影响,202
9、0/12/17,第三章线性系统的时域分析,36,自然振荡频率对控制系统的影响,、上升时间tr,得：,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,37,3.3.2、二阶系统阶跃响应的性能指标,、峰值时间tm,得：,要使 最大， 即： 且时间最短，则有：,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,38,、最大超调量,得：,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,39,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,40,超调量 与阻尼比 的关系,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,41,超调量只与阻尼比有关：,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,42,超调
10、量与无阻尼自然频率无关：,、调节时间ts,由图可见，实际输出响应的收敛程度小于包络线的收敛程度。为方便起见，往往采用包络线代替实际响应来估算调节时间，结果略保守：,用输出响应式很难求调节时间，但是对于欠阻尼二阶系统单位阶跃响应式，指数曲线： 是对称于稳定输出线的一对包络线，如图所示：,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,43,调节时间ts,当阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值 的误差范围(一般取 或 ) ，则有：,较小时， ，当 ，有：,当 ，有：,其中 为系统的时间常数。,在分析问题时，常取,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,44,5.振荡次数,振荡次数是指在调节时间内，输出变量波动的次数，即：,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,46,小结：,结论： 最大超调量 由阻尼比 唯一决定。一般先根据最大超调量 的要求选择 值，在实际工程中 值一般在0.50.8之间。 系统的快速性能指标，tr、tp等则由 和 决定。当 一定时。,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,47,3. 调节时间 与 成反比。 4.性能指标的矛盾性： 系统反应越快，超调量越大； 系统稳定性越好，系统反应越慢。,例2：已知单位负反馈系统的开环传递函数为,确定系统的和，并求最大超调量和调整时间,解：因为 可得,2020/12/17,第三章线性系统的时域分析,51,
