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1、第 18卷第 4期 数 学 研 究 与 评 论 V o l. 18 N o. 41 9 9 8 年 1 1 月 JOU RNAL O F M A TH EM A T ICAL R ESEA RCH AND EXPO S IT ION N ov. 1 9 9 8满足右零化子特殊升链条件的环 X张力宏(四平师范学院数学系 , 吉林 136000) 王文举(首都经贸大学经济信息管理系 , 北京 100026)摘要 本文讨论了满足右零化子特殊升链条件的环的性质以及与左、右完备环 ,Q F2环的关系 ; 给出了满足右零化子特殊升链条件的环中素理想是完全素理想的条件 , 从而给出了 Go ldie 定理的
2、一个应用 .关键词 右零化子特殊升链条件 , 右完备环 , 完全素理想 .分类号 AM S (1991) 16P CCL O 1531引言对满足链条件的环的研究已相当广泛 , 对环赋予各种不同的链条件就会得到各种不同的结果 .本文中的环 R 表示有单位元的结合环 . 设 S R 是 R 的子集 , 则 r (S ) = x R S x = 0是R 的右理想 , 称为 S 的右零化子 . 如果对 R 中任意的子集序列 S 1, S 2, , 其右零化子升链r (S 1) A r (S 2S 1) A A r (S n S 1) A 在有限步终止 , 即存在自然数 n, 使得 r (S nS n-
3、 1 S 1) = r (S n+ 1S n S 1) = , 则称 R 满足右零化子特殊升链条件 . 当 S = a时 , 记 r (S ) = r (a). 若 r (a) = 0, 则称 a 是 R 中的右正则元 . 类似地可以定义左正则元和正则元 .满足右零化子特殊升链条件的环类很多 , 如 A rtin 环 , N oether 环 , Q F2环 , 满足零化子升链条件的环等都属此范畴 . 但满足右零化子特殊升链条件的环未必是右完备环 , 右完备环也不一定是 Q F2环 . 关于左 (右 ) 完备环何时是 Q F2环的研究已有许多 , Q sofsky 1 和 Kato 2 证明了
4、右完备的 , 且是左、右自内射环是 Q F2环 . 对此有人提出 (Faith C. 3, 4 ) 是否可将左、右自内射环的条件换成 (右 ) 左自内射环 . 4 中给出了当 R 是左、右完备的右自内射环时成为 Q F2环的条件 . 5 中定理 5. 8表明 R 是 Q F2环当且仅当 R 是满足零化子升链条件的右自内射环 , 此时显然 R 是右完备环 . 对此本文证明了 : 使 J (R ) 是有限生成的右完备环 R , 若满足右零化子特殊升链条件 , 则 R 一定是左完备环 ; R 是 Q F2环当且仅当 R 是满足右零化子特殊升链的右自内射环 , 且 Jacob son 根 J (R )
5、是有限生成的 .此外 , Po sner 7 和 Ferrero 等 8 提出一个问题 : 环 R 在满足零化子极大条件下其素理想是否是完全素理想 (com p letely p rim e ideal 9 ) ?该问题目前仍没有完全解决 . Po sner 给出了素根745X 1995年 12月 4日收到 . 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.P (R ) 是完全素理想的条件 . Ferrero 等指出 Po sner 的证明有不足之处 , 并且也给出了素根是全素的条件 . 对此本文给
6、出了更一般的结果 : 若 R 满足右零化子特殊升链条件 , 右 Go ldie 维数为 1, 则当 R 是半质环时 , 其商环是除环 . 这可以看作是 Go ldie 定理的一个应用 , 从而推广了Ferrero 等的结果 .2右完备环是 QF-环的条件引理 2. 1 设 R 满足右零化子特殊升链条件 , 则对 R 中任意的元素列 x 1, x 2, 及任意的k, 有 n 使得 r (x n+ k x n+ 1) x n x 1R = 0.证明 由条件知有 n, 使得 r (x n x 1) = r (x n+ 1x n x 1) = , 任取 y r (x n+ k x n+ 1) x nx
7、 1R , 则有 r1 R , 使得 y = x n x 1 r1且 0= x n+ k x n+ 1y = x n+ k x n+ 1x n x 1 r1, 因此 r1 r (x n+ kx 1) = r (x n x 1) , 即 y = x n x 1 r1= 0. 同样的方法可证得下面的引理 2. 2 设 a R ,M 是左 R 2模 , 则 rM (an) = rM (an+ 1) = 当且仅当 rM (an) anM = 0, 其中 rM (a) = x M ax = 0.设 N 是 R 的子集 , 称 N 是右 T 2幂零的 , 如果对 N 中的任意元素列 x 1, x 2, ,
8、 有自然数k, 使得 x kx k- 1 x 1= 0.引理 2. 3 设 R 满足右零化子特殊升链条件 , 若 I 是 R 的有限生成的非幂零右理想 , 则 I不是右 T 2幂零的 .证明 设 I 的生成元是 a1, a2, , ak , 则一定有 0 akR 不是幂零的 . 根据已知有 n 存在 , 使r ( (akR ) n) = r ( (akR ) n+ 1) = , 设 L = (akR ) n, 则 r (L ) = r (L 2) , L 2 0. 所以存在 0 x 1 L , 使L x 1 0, 得 x 1| r (L ) = r (L 2) , 从而 L 2x 1 0, 因
9、此又存在 0 x 2 L 使 L x 2x 1 0, 得 x 2x 1| r (L )= r (L 2) , 这又有 L 2x 2x 1 0, 从而又有 0 x 3 L 使 L x 3x 2x 1 0, , 依次下去知 L 中有元素列x 1, x 2, , 使对任意的 k , x k x 1 0, 故 I 不是右 T 2幂零的 . 今知 , 半质环没有非零的幂零单侧理想 , 与之比较有 :推论 2. 4 设 R 是满足右零化子特殊升链条件的半质环 , 则 R 没有非零的右 T 幂零单侧理想 .证明 设 I 是 R 的非零的右 T 幂零右理想 , 取 0 a I , 则 0 aR A I 是 R
10、 的右理想 . 当然是右 T 2幂零的 . 由引理 2. 3, aR 是幂零的 , 这与 R 是半质环矛盾 . 定理 2. 5 设 R 是满足右零化子特殊升链条件的右完备环 , J (R ) 是有限生成的 , 则 R 一定是左完备环 .证明 由 R 是右完备环知 J (R ) 是右 T 2幂零的 , R J (R ) 是半单环 . 根据已知及引理 2. 3,J (R )是幂零的 , 这说明 R 亦是左完备环 . 定理 2. 6 R 是 Q F2环当且仅当 R 是满足右零化子特殊升链条件的右自内射环 , 且 J (R )是有限生成的 .证明 必要性显然 .充分性 由于 R 的任一主左理想降链都有
11、 R a1B R a2a1B B R an a1B 形式 , 因此有845 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.升链r (R a1) A r (R a2a1) A A r (R an a1) A .由已知存在 n, 使得 r (R an an) = r (R an+ 1an a1) = , 但 R 是右自内射环 , 所以有R an a1= l (r (R an a1) ) = l (r (R an+ 1 a1) ) = R an+ 1 a1.这说明 R 是右完备环 , 由定理 2. 5知
12、R 又是左完备环 . 设 J (R )的生成元集合是 a1, a2, , an, 则r (J (R ) ) = r (a1, a2, , an).根据 4 的推论知 R 是 Q F2环 . 3素理想是全素理想的条件引理 3. 1 设 R 满足右零化子特殊升链条件 , 则 R 的奇异右理想 Z (R )是右 T 2幂零的 .证明 若 Z (R ) 中存在元素列 x 1, x 2, , x n, 使对任意的 n, x n x 1 0, 则 x n x 1R 0.但由已知及引理 2. 1有 r (x n+ 1) x n x 1R = 0, 这与 r (x n+ 1)在 R 中是本质的矛盾 , 所以
13、Z (R )是右 T 2幂零的 . 引理 3. 2 设 R 满足右零化子特殊升链条件 , 则 Z (R ) A P (R ) , 其中 P (R )表示 R 的素根 .证明 任取 0 a Z (R ) , 则 aR A Z (R )是 R 的有限生成右理想 . 由引理 3. 1, Z (R )是右 T 2幂零的 , 所以 aR 也是 . 由引理 2. 3, aR 是幂零的 , 从而 aR A P (R ). 由于 R 有单位元 , 得 a P(R ) , 故 Z (R ) A P (R ). 引理 3. 3 设 R 是满足右零化子特殊升链条件的半质环 , I 是 R 的诣零右理想 , 则 I
14、中存在元素列 a1, a2, , 使 a1R + a2R + 是直和 .证明 由推论 2. 4, I 不是右 T 2幂零的 , 所以 I 中存在元素列 x 1, x 2, , 使对任意的 m 有x n x 1 0. 另外由已知存在 n1使 r (x n1 x 1) = r (x n1+ 1x n1 x 1) = R. 又由于 I 是诣零的 , 所以存在 l1使 x l1n1+ 1= 0, 而 x l1- 1n1+ 1 0, 这说明 x l1- 1n1+ 1 r (x n1+ 1) , 因此有I 1= r (x n1+ 1) I 0,I 1是诣零的 , 但不是右 T 2幂零的 , 所以 I 1中
15、存在元素列 y 1, y 2, , 使对任意的 m , 有 y m y 10. 由已知存在 n2, 使得 r (y n2 y 1) = r (y n2+ 1y n2 y 2) = R. 任取 x x n1 x 1R y n2 y 1R , 有r1, r2 R. 使x = x n1 x 1 r1= y n2 y 1 r2, x n1+ 1x = x n1+ 1x n1 x 1 r1= x n1+ 1y n2 y 1 r2= 0,从而 r1 r (x n1+ 1x n1 x 1) = r (x n1 x 1) , 得 x = 0. 这说明 x n1 x 1R + y n2 y 1R 是直和 .又由于 I 1是诣零的 , 所以存在 l2使 y l2n2+ 1= 0而 y l2- 1n2+ 1 0, 得 y l2- 1n2+ 1 r (y n2+ 1) I 1= I 2 0, I 2是诣零的但不是右 T 2幂零的 . 所以 I 2中存在元素列 z 1, z 2, , 使对任意的 m 有 zm z 1 0. 根据已知有 n3, 使得 r (z n3 z 1) = r (z n3+ 1z n3 z 1) = R. 任取 x (x n1 x 1R + y n2
