2020高考数学 最后突破抢分：第2讲　排列与组合

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1、读万卷书 行万里路 1 第 2 讲 排列与组合 一、知识梳理 1排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出 m(mn)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合的定义 合成一组 2.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同 从n个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同 读万卷书 行万里路 2 排列的个数 组合的个数 公式 Amnn(n1)(n2) (nm1) n！ （nm）！ Cmn Am n Am m n（n1）（n2）（nm1） m！ 性质 Annn！ ，0！1 CmnCnm n，CmnCm1n Cmn1 常用结论 1

2、“排列”与“组合”的辨析 排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序” 取出元素后交换顺序， 如果与顺序 有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合 2解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排 (2)合理分类与准确分步 (3)排列、组合混合问题要先选后排 (4)相邻问题捆绑处理 (5)不相邻问题插空处理 (6)定序问题倍缩法处理 读万卷书 行万里路 3 (7)分排问题直排处理 (8)“小集团”排列问题先整体后局部 (9)构造模型 (10)正难则反，等价转化 二、教材衍化 16 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A144 B120 C72 D24 解析：

3、选 D.“插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两 人不相邻的坐法种数为 A3443224. 2用数字 1，2，3，4，5 组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( ) A8 B24 C48 D120 解析：选 C.末位数字排法有 A12种，其他位置排法有 A34种，共有 A12A3448(种)排法， 所以偶数的个数为 48. 3从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是 ( ) 读万卷书 行万里路 4 A18 B24 C30 D36 解析：选 C.选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有 C24C13

4、18 种，选出的 3 人中有 1 名男同学 2 名女同学的方法有 C14C2312 种，故 3 名学生中男女生都有的选法有 C24C13C14C2330 种故选 C. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同( ) (4)若组合式 CxnCmn，则xm成立( ) (5)Amnn(n1)(n2)(nm)( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、易错纠偏 常见误区|(1)分类不清导致出错； 读万卷书 行万里路 5 (2)

5、相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方 法 1从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台，其中至少有原装计算机和组 装计算机各 2 台，则不同的取法有_种 解析：分两类：第一类，取 2 台原装计算机与 3 台组装计算机，有 C26C35种方法；第二 类，取 3 台原装计算机与 2 台组装计算机，有 C36C25种方法所以满足条件的不同取法有 C26 C35C36C25350(种) 答案：350 2把 5 件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻， 则不同的摆法有_种 解析：设这 5 件不同的产品分别为A，B，C，D，E，

6、先把产品A与产品B捆绑有 A22种 摆法，再与产品D，E全排列有 A33种摆法，最后把产品C插空有 C13种摆法，所以共有 A22A33 C1336(种)不同摆法 答案：36 排列问题(师生共研) 有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数 读万卷书 行万里路 6 (1)选 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻 【解】 (1)从 7 人中选 5 人排列，有 A57765432 520(种) (2)分两步完成，先选 3 人站前

7、排，有 A37种方法，余下 4 人站后排，有 A44种方法，共 有 A37A445 040(种) (3)法一(特殊元素优先法)： 先排甲， 有 5 种方法， 其余 6 人有 A66种排列方法， 共有 5A66 3 600(种) 法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另 6 人中的两人，有 A26种排法，其他有 A55种 排法，共有 A26A553 600(种) (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A44种方法，再将女生全排 列，有 A44种方法，共有 A44A44576(种) (5)(插空法)先排女生，有 A44种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空

8、位安 排男生，有 A35种方法，共有 A44A351 440(种) 求解排列应用问题的 6 种主要方法 读万卷书 行万里路 7 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元 素排列的空当中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 (2020合肥市第二次质量检测)某部队在一次军演中要先后执行A，B， C，D，E，F六项不同的任务，要求

9、是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后 需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有( ) A36 种 B44 种 C48 种 D54 种 解析：选 B.由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：(1)当 AE排第一、二位置时，用表示其他任务，则顺序为AE，余下四项任务，先全排D， F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有 A22A23种方法(2) 当AE排第二、三位置时，顺序为AE，余下四项任务又分为两类：B，C两项任务中 一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有 A12A33种方法；D，F两项任务中一项 读万卷书 行

10、万里路 8 排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有 A12A22种方法(3)当 AE排第三、四位置时，顺序为AE，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的 一个，余下两项任务排在后两个位置，有 C12C12A22A22种方法，根据分类加法计数原理知不同 的执行方案共有 A22A23A12A33A12A22C12C12A22A2244(种)，故选 B. 组合问题(师生共研) 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品 中选取 3 种 (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多

11、少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 【解】 (1)从余下的 34 种商品中， 选取 2 种有 C234561 种取法， 所以某一种假货必须在内的不同取法有 561 种 (2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C334种或者 C335C234C3345 984 种取法 读万卷书 行万里路 9 所以某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种 (3)从 20 种真货中选取 1 种，从 15 种假货中选取 2 种有 C120C2152 100 种取法 所以恰有 2

12、种假货在内的不同的取法有 2 100 种 (4)选取 2 种假货有 C120C215种，选取 3 种假货有 C315种，共有选取方式 C120C215C3152 1004552 555(种) 所以至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种 (5)法一(间接法)：选取 3 种的总数为 C335，因此共有选取方式 C335C3156 5454556 090(种) 所以至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 法二(直接法)：共有选取方式 C320C220C115C120C2156 090(种) 所以至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 两类有附加条件的组合问题

13、的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再 由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少” 与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解，通常用 读万卷书 行万里路 10 直接法，分类复杂时，用间接法求解 1(2020沈阳模拟)某地区高考改革实行“312”模式， “3”指语文、数学、外语 三门必考科目， “1”指在物理、历史两门科目中必选一门科目， “2”指在化学、生物、政 治、 地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门

14、科目中任意选择两门科目， 则一名学生 的不同选科组合有( ) A8 种 B12 种 C16 种 D20 种 解析：选 C.若一名学生只选物理和历史中的一门，则有 C12C2412 种组合；若一名学生 物理和历史都选，则有 C144 种组合，因此共有 12416 种组合故选 C. 2甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，求： (1)甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种？ (2)甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法有多少种？ 解：(1)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，且甲、乙所选课程中恰有 1 门相同的选 法种数共有 C24C12C1224(种) (2)甲、乙两人

15、从 4 门课程中各选 2 门不同的选法种数为 C24C24，又甲、乙两人所选的 2 门课程都相同的选法种数为 C24种，因此满足条件的不同选法种数为 C24C24C2430(种) 读万卷书 行万里路 11 排列、组合的综合应用(多维探究) 角度一 排列与组合应用题 (1)将标号为 1，2，3，4 的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一 个篮球，且标号 1，2 的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( ) A15 B20 C30 D42 (2)从 0，2 中选一个数字，从 1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其 中奇数的个数为( ) A24 B18 C12 D6 【解析】 (1)四个篮球中两个分到一组有 C24种分法， 三个篮球进行全排列有 A33种分法， 标号 1，2 的两个篮球分给同一个小朋友有 A33种分法，所以有 C24A33A3336630 种分 法 (2)从 0，2 中选一个数字 0，则 0 只能排在十位，从 1，3，5 中选两个数字排在个位 与百位，共有 A236 种；从 0，2 中选一个数字 2，则 2 排在十位(或百位)，从 1，3，5 中 选两个数字排在百位(或十位)、个位，共有 A12A2312 种，故共有 A23A12A2318 种故选 B. 【答案】 (1)C (2)B 读万卷书 行万里路 1