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1、读万卷书 行万里路 1 2004 第二十一届全国初中数学联赛 第一试 一、选择题 1已知0abc ，且0abc+=，则代数式 222 abc bccaab +的值是（ ） A3 B2 C1 D0 2已知p，q均为质数，且满足 2 5359pq+=，则以3p +，1pq+，24pq+为边长的三角 形是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 3一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中ab，若 两个三角形的最小内角相等，则 a b 的值等于（ ） A 31 2 + B 51 2 + C 32 2 + D 52 2 + 4过点( 13)P ，作
2、直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为 5，这样的直线可以作（ ） A4 条 B3 条 C2 条 D1 条 读万卷书 行万里路 2 5已知 2 4bac是一元二次方程 2 0axbxc+=(0)a 的一个实数根，则ab的取值范围为（ ） A 1 8 ab B 8 ab C 1 4 ab D 1 4 ab 6在2 3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个 数为（ ） A24 B38 C46 D50 二、填空题 1计算 1111 12233420032004 += + _ 2 如图ABCD是边长为a的正方形， 以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆
3、交于另一点P， 延长AP交BC于点N， 则 BN NC =_ 3实数a，b满足 33 31abab+=，则ab+=_ 4设m是不能表示为三个不同合数之和的最大整数，则m=_ 第二试 一、已知方程 22 64320 xxnn=的根都是整数，求整数n的值 二、 （A）已知如图，梯形ABCD中，ADBC，以两腰AB，CD B P O EDC FA H l P MQ G F E D CB A 读万卷书 行万里路 3 为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M， EPl于P，FQl于Q 求证：EPFQ= 二、 （B）已知如图，梯形ABCD中，ADBC，以两腰AB
4、，CD 为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF， 设线段AD的垂 直平分线l交线段EF于点M 二、 （C）已知如图，梯形ABCD中，ADBC，以两腰AB，CD 为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，连接EF，设线段EF的中点为M 求证：MAMD= 三、已知点(03)A，( 21)B ，(21)C， 2 ()P tt，为抛物线 2 yx=上位于三角形ABC内（包括边 界）的一动点，BP所在的直线交AC于E，CP所在的直线交AB于F将 BF CE 表示为自变量t的 函数 A BC D E F G M l H EE F P F CB A 读万卷书 行万里路 4 2003 第二十届全国初中数
5、学联赛 试 题 第一试 读万卷书 行万里路 5 一、选择题 1A 【解析】 本题利用基本不等式来变形： 原代数式 222333 abcabc bccaababc + += 又()() 333222 abcabcabcabbcca+=+ 由已知0abc+ + =，故 333 30abcabc+= 即 333 3abcabc+=，代回原式得到 222333 3 abcabc bccaababc + +=，选 A 【点评】 本题首先是要对给出的代数式进行通分变形，得到我们所能找到思路的形式，最关键的是要 充分熟悉常用的公式：()() 333222 3abcabcabcabcabbcca+=+以及它的
6、各种变 形体，然后就很容易求出结果 2B 【解析】 由方程知 2 559p ，所以4p ，又p为质数，所以p只可能是 2 或 3，代回方程 2 5359pq+= 中，因为q也是质数，只有当2p =时13q =为质数 所以2p =，13q = 由p，q的值得到三角形三边长为 5，12，13，由勾股定理逆定理得到这是个直角三角形 读万卷书 行万里路 6 故选 B 【点评】 本题考点是质数的性质，根据质数的性质求出p，q的值再用勾股定理逆定理可得到结果， 对于质数来说，是比整数更具有约束性的条件，还是和所有的整数题一样，首先确定范围， 再根据可能的取值分情况讨论 3B 三角形内，小的边对应小的内角，
7、所以边长为a，a，b的三角形最小的内角为顶角，边长为 b，b，a的三角形最小的内角为底角，由题意，这两个角相等 如图作一条辅助线， 将边长a，a，b的三角形分成两个等腰三角形， 其中边长为b，b，()ab 的三角形与边长为a，a，b的三角形相似 读万卷书 行万里路 7 于是有 bab ab =， 51 2 a b + = 【点评】 本题中要注意在三角形内，小的边对应小的内角，大边对大角即可同时，本题中还要注意 由于两个三角形有一个相等的角和一条相等的边，故可将两个三角形结合在一个图形里面讨 论，通过相似比得出结果 4C 【解析】 由于P在第二象限，过P的直线与坐标轴围成的三角形可以在第二、第一
8、和第三象限 此题可以巧解： 试想过P的直线围成的三角形在第一象限， 当直线接近原点时， 三角形的面积接近 0， 当直线接近与x 轴平行时，三角形的面积将趋向无穷 所以在第一象限可以存在一个三角形其面积正好是 5； 而对于在三象限的三角形来说，当直线接近原点时，三角形的面积接近 0，当直线接近与x轴 平等时，三角形的面积将趋向无穷 所以在第一象限可以存在一个三角形其面积正好是 5； 而对于在二象限的三角形ABC来说，可以设直线AB的倾为，同时3PC =，1PD=，则 131 3tan1 1 3 2 tan2 AOBAPCPDBPCOD SSSS =+= + + 9tan 3 2tan2 =+，
9、a O P D C B A 读万卷书 行万里路 8 对于第二象限的角来说，tan0， 9tan9tan 336 2tan22tan2 2 AOB S =+= 因此，二象限中不存在这样的三角形故选 C 【点评】 本题中利用了极端法以及一个基本不等式，在做选择题的时候这种方法很常用，一般还有带 入法，特殊值法等，总之做选择题的时候要注意充分利用选项；对于基本的不等式来说要注 意它的适用范围，在适当的条件下，它才成立 5B 【解析】 由求根公式得到方程的根为 2 4 2 bbac x a =，设 2 4bacy= 又因为 22 4ybac=是原方程的根，所以 2 2 by y a + =或者 2 2
10、 by y a =， 因为0a ，这两个方程可化成关于y的一元二次方程 2 20ayyb+=， 考虑这个方程的判别式得到1 80ab，所以 1 8 ab，选择 B 【点评】 本题的关键在于利用好 2 4bac是方程的一个根这个条件， 把 2 4bac看到一个新的未知数， 可得到一个新的一元二次方程，再利用这个方程的的判别式求出ab的范围，这种利用判别式 求方程系数范围的方法在联赛中经常用到 6C 读万卷书 行万里路 9 【解析】 等腰直角三角形可以与正方形建立，图中有两类正方形： 由四个各点构成的小正方形，这样的正方形共有 6 个，每个正方形的 四个顶点中任意选出三点都可以构成一个等腰直角三角
11、形，即每个正方 形中含 4 个等腰直角三角形，此类等腰直角三角形共有、6 424=个 由四个正方形构成的大正方形，有两个这样的正方形中有三类等腰 直角三角形； 如图，以正方形对角线为斜边的等腰直角三角形，以正方形边长为斜边的等腰直角三角形， 以正方形对边中点连线为斜边的等腰直角三角形，这三类三角形各有 4 个，因此每个正方形 中有 12 个等腰直角三角形，两个这样的正方形有 24 个等腰直角三角形，但是这两个正方形 重叠之处有两个等腰直角三角形重复计算了，因此有24222=个 这两类正方形中共有242246+=个等腰直角三角形 【点评】 本题中是要数的三角形与图中的正方形建立了联系，由于正方形
12、的个数很好计算，因此很容 易算出对应的三角形的个数，同时要非常注意集中重叠的个数，对于一般的题来说，通常是 将三角形分类，再分别出各种三角形的个数，一样能避免多数或漏数 二、填空题 12 501 1 【解析】 将原式分母有理化得： 原式 () 12233420032004=+ 读万卷书 行万里路 10 200412 501 1= = 【点评】 这是一道简单的根式化简的问题，将根式有理化即可得出结果，对于二次根式来说对于形如 1 21 12 = + 要熟悉掌握，并灵活应用 2 1 2 【解析】 O为BC中点，即半圆的圆心连接DP，PO，DO，PC，同时过P作EF平行于AD，且 交CD，AB于E，
13、F两点 由于DP，DC均为大圆的半径，所以DPDC=； 同时，OP，OC均为小圆半径，所以OPOC=； DO边公共，所以DPO和DCO全等 对于DPC来说，由于 1 tan 2 CO CDO CD =，DPDCa=， 所以 2 5 5 PCa=， 进而可求得DPC中DC上的高 2 55 4 55 1 5 2 aa PEa a = ， 所以 1 5 PFa=， 2 2 43 55 AFDEaaa = N AF CDE O P B 读万卷书 行万里路 11 32 55 FBECaaa= 由于APF相似于ANB，所以： PFAF NBAB =， 故： 1 1 5 3 3 5 aa PFAB NBa
14、AF a = 所以： 1 1 3 1 2 3 a BN BC aa = 【点评】 这道题乍看应该用切割线定理来做，实际上用切割线做的时候只有一条半径和一条切割线， 没有办法继续，当我们连接几条半径之后，就能利用其中一个已知三角形的各边之比来解直 角三角形了 31 或2 【解析】 解一：由已知 32 31abab+=，得到 ()() 3322 310310abababababab+ =+ = ()() ()() 222222 310abababababababab+ = 读万卷书 行万里路 12 ()()() 2 22 110abababab+ = ()() 22 110abababab+= 即
15、1ab+=，或者 22 10ababab+ + = 若 22 10ababab+ + =， () 22 110ab aba+ =， () 2 31b =+，即1b=时a才可能是实数，此时1a =， 所以2ab+=， 综上1ab+=或2 解二：首先我们可以联想到常用的公式： ()() 333222 3abcabcabcabcabbcca+=+， 这样，由 33 31abab+=可知： ()()() 3 3322 1311abababababab+ =+ + 因此：()10ab+=， 或() 22 10ababab+ +=， 由()10ab+=， 可知1ab+=， 读万卷书 行万里路 13 由( ) 22 10ababab+ +=， 配方可得 222 222222 0 222222 abab += ， 故1ab=， 2ab+= 【点评】 这道题综合性很强，首先需要将方程变形后进行因
