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1、精品教案 可编辑 第 6 讲一元二次方程 一、 知识清单梳理 知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例 1.一 元 二 次 方 程 的 相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程 (2)一般形式：ax2bxc0(a 0) ，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、 一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数 项 例：方程20 a ax是关于x 的一元二次方程，则方程的根 为1. 2.一元二次 方程的解 法 （1）直接开平方法：形如（x+m） 2= n(n 0)的方程，可直接开平方求 解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n
2、)=0 的方程，用因式分解法求 解. ( 3 ) 公 式 法 : 一 元 二 次 方 程ax2bxc 0的 求 根 公 式 为 x= 2 4 2 bbac a （b 2- 4ac0） . (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时， 也可以考虑用配方法 解一元二次方程时，注意观 察，先特殊后一般，即先考 虑能否用直接开平方法和因 式分解法，不能用这两种方法 解时，再用公式法. 例：把方程x2+6x+3=0变形 为 (x+h) 2=k 的 形 式 后 ， h= -3 ,k= 6. 知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 3.根的判别 式 (1)当 2 4bac 0
3、 时，原方程有两个不相等的实数根 (2)当 2 4bac = 0 时，原方程有两个相等的实数根 (3)当 2 4bac 0 时，原方程没有实数根 例： 方程 2 210 xx的判别 式等于 8，故该方程有两个不 相 等 的 实 数 根 ； 方 程 2 230 xx的判别式等于 8，故该方程没有实数根. *4. 根 与 系（1）基本关系：若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)有两个根与一元二次方程两根相关代 精品教案 可编辑 数的关系分别为x1、x2,则x1+x2= -b/a,x1x2= c/a .注意运用根与系数关系的前 提条件是 0. （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于
4、方程两根的代数式的值时， 先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的 关系求解 . 数式的常见变形： (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2) +1,x12+x2 2=(x 1+x2)2-2x1x2, 12 1212 11xx xxx x 等. 失分点警示 在运用根与系数关系解题时， 注意前提条件时=b 2-4ac 0. 知识点三：一元二次方程的应用 4.列一元二 次方程解 应用题 （1）解题步骤：审题；设未知数；列一元二次方程；解一 元二次方程；检验根是否有意义；作答 运用一元二次方程解决实际 问题时，方程一般有两个实数 根，则必须要根据题意检验根 是否有意义 . （2）应用模型： 一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. 平均 增长率（降低率）问题：公式：ba(1x)n，a表示基数，x表 示平均增长率 （降低率），n表示变化的次数，b表示 变化n次后的量； 利 润问题：利润= 售价 - 成本；利润率 = 利润 /成本100% ； 传播、 比赛问题： 面积问题： a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通 过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.
