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1、1 / 6 第五章大数定律和中心极限定理 （1）大数定律切 比 雪 夫 大 数 定律 设随机变量 X1，X2，相互独立， 均具有有限方差， 且被同一常数 C所界：D （Xi） C(i=1,2, ), 则对于任意的正数 ，有 特殊情形：若 X1，X2，具有相同的数学期望E（XI）=，则上式成为 伯 努 利 大 数 定 律 设是 n 次独立试验中事件A发生的次数， p 是事件 A在每次试验中发生的 概率，则对于任意的正数 ，有 伯努利大数定律说明， 当试验次数 n 很大时，事件 A发生的频率与概率有较 大判别的可能性很小，即 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛 钦 大 数 定律 设 X1
2、，X2， Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且E （Xn）=，则对 于任意的正数 有 （2）中心极限 定理 列 维 林 德 伯 格 定 理 设随机变量 X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和 方差： ，则随机变量 的分布函数 Fn(x) 对任意的实数 x，有 此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理。 棣 莫 弗 拉 普 拉 斯 定理 设随机变量为具有参数n, p(0p1) 的二项分布，则对于任意实数x, 有 （3）二项定理若当，则 超几何分布的极限分布为二项分布。 （4）泊松定理若当，则 其中 k=0，1，2， n，。 二项分布的极限分布为泊松分布。 2 / 6 第六
3、章 样本及抽样分布 （1）数理 统计的基 本概念 总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或 母体） 。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 个体总体中的每一个单元称为样品（或个体） 。 样本我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量， 一般用 n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有 相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结 果时，表示 n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，表示n 个具体的数 值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 样 本 函 数 和统计
4、量 设为总体的一个样本，称 （） 为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（）为 一个统计量。 常 见 统 计 量 及 其 性 质 样本均值 样本方差 样本标准差 样本 k 阶原点矩 样本 k 阶中心矩 ， ， ，, 其中，为二阶中心矩。 （2）正态 总体下的 四大分布 正态分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数 t 分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数 其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。 设为来自正态总体的一个样本，则样本函数 其中表示自由度为n-1 的分布。 F分布设为来自正态总体的一个样本，而为来自正态总体的一个样本，则样本函数 其中
5、表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。 3 / 6 第七章参数估计 （ 1） 点估 计 矩估计设总体 X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成它的k 阶原点矩中也包含了 未知参数，即。又设为总体X的 n 个样本值，其样本的k 阶原点矩为 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方 程，即有 由上面的 m个方程中，解出的m个未知参数即为参数（）的矩估计量。 若为的矩估计，为连续函数，则为的矩估计。 极大似 然估计 当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中为未知参数。又设为总体 的一个样本，称 为样本的似然函数，简记为Ln. 当总体 X 为离型随机
6、变量时，设其分布律为，则称 为样本的似然函数。 若似然函数在处取到最大值，则称分别为的最大似然估计值，相应的统计量称为 最大似然估计量。 若为的极大似然估计，为单调函数，则为的极大似然估计。 （ 2） 估计 量的 评选 标准 无偏性设为未知参数的估计量。若E （）=，则称 为的无偏估计量。 E（）=E（X） ， E（S 2）=D （X） 有效性设和是未知参数的两个无偏估计量。若，则称有效。 一致性设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有 则称为的一致估计量（或相合估计量） 。 若为的无偏估计，且则为的一致估计。 只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的
7、一致估 计量。 （ 3） 区间 估计 置信区 间和置 信度 设总体 X 含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个统计量与，使得 区间以的概率包含这个待估参数，即 那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）。 单正态 总体的 期望和 方差的 设为总体的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间。具体步骤如下： （i ）选择样本函数； （ii ）由置信度，查表找分位数； （iii）导出置信区间。 4 / 6 区间估 计 已知方差，估计均值（i ）选择样本函数 (ii) 查表找分位数 （iii）导出置信区间 未知方差，估计均值（i ）选择样本函数 (ii)查表找分位数 （i
8、ii）导出置信区间 方差的区间估计（i ）选择样本函数 （ii ）查表找分位数 （iii）导出的置信区间 5 / 6 第八章假设检验 基 本 思 想 假设检验的统计思想是， 概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即 小概率原理。 为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个 不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导 出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称 H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设， 用 H1表示。 这里所说的小概率事件就是事件，其概率就是检验水平，通常我们取 =0.05，有时也
9、 取 0.01 或 0.10 。 基 本 步 骤 假设检验的基本步骤如下： (i)提出零假设 H0； (ii)选择统计量 K； (iii)对于检验水平 查表找分位数 ； (iv)由样本值计算统计量之值 K； 将进行比较，作出判断：当时否定H0，否则认为 H0相容。 两 类 错 误 第一类错误当 H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否 定 H0。这时，我们把客观上 H 0成立判为 H0为不成立（即否定了真实的假设） ， 称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率， 即 P否定 H0 | H 0为真=； 此处的恰好为检验水平。 第二类错误当 H1为
10、真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接 受 H0。 这时，我们把客观上 H 0。 不成立判为 H0成立（即接受了不真实的假设） ， 称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率， 即 P接受 H0 | H 1为真=。 两类错误的关 系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n 一定时， 变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本 容量。 在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性 水平。大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不 愿“以真当假”时，则应把取得很小，如 0.01，甚至 0.001。反之，则应 把取得大些。 单正态总体均值和方差的假设检验 条件零假设统计量 对应样本 函数分布 否定域 已知N（0，1） 未知 未知 6 / 6
