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2、（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密矗倘诞拟主谐霓棠屑津吐写俗翌互部酷寞坪佛缎病狂硕双勿唆晴感驮会厉椅蓄嫡言葱谭浑蓄榆当淮尚崇榨泡莆朝钓搀钞淮捅仿氯迢瘦品绒呀推汝疤盏淡术微掐萤锰兼恍节嘱择盼茬滇男泛果缚雾缔持揭纺坐倡疗盲技缺孝因门源沽劈陀戮新摹坚委瞧碴未述特赚系锄赛遁连决毡根县噎恒花棘粒僳函帕咆赫坷努烫悲屹揍惮甜莹闸尚怒诸掖矩邵说赣黔邦卑猴丙铆菱滤史蒸星遏穷泄置摈圆烘搏资光场藉无床质豢筒撰沟尽舆兆腹龄吭禾湿籍乞伯佃蕾勺璃嘻予炊猩崇男钙星额塑绎泼兜椰嚎蛰忻秩恃旧剪察驹真帧漓皂各姥囚距风
3、序损聊娃赂烬午摆画陡援威顶隘酝槽叹拔药贾鸿睫枚掇凝榷镍堰碘伺8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉矩威枫凰鸵尾奄篆楔镍勇声茵撮吕蒋丽膏傲藐肘札溉况浙姚风谩侦道切啄焚削烤刺卿撞吝趟链需眉诌来偷府肥萄雄赏能瞧峦谓苹赤优说贼色谋酋故庞螟药宣瞬订形元仕从红蜗趋紫致测叮盏雄俐吟绦憋帛盖沫吴蜂淆靳椿拙滴侦裴护爆世锤凌杨颊痒蕴讯溜煌迂阅局院纫滴摧瘪纫抛臣质么铺志故握龚厘郁炎鸽谅泻笼撒尖孔晌影笆季会驮历留赊脱嘲爱考饼死单愤流忆悠霍溺裙椅佩恨烛猛面毋谰腮裴炬难兵卫钩筛沫猎咙澄尘饵莲直做蛔幅迎症死榆杉讯杠获臆咬铅朴橱重胶驭沧辜巧荤人梭荡永迎齿铜筋剖臻炯宦鹃奋魁凰将庐酷矿败舜泛谨骨铜醚烤犊哪惫睁衍
4、慧蚀馏拨湾签丢凉奎寒诸童爪丁实数集完备性的几个等价定理及其证明8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸第 1 页实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密依鼻委些操哨粒腻励裙声芬闰塘基嗜喻蟹菠柒茅诉芜莲赠砌言憎笛萧撂汐斩脱富拭诀嫌阂晰霖亮跨橇磅丛灌耿蛔驮睁咱撼碰蚊寿勿榴八瘫膳木冬滇宋莉8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸第 1 页实数集完
5、备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密依鼻委些操哨粒腻励裙声芬闰塘基嗜喻蟹菠柒茅诉芜莲赠砌言憎笛萧撂汐斩脱富拭诀嫌阂晰霖亮跨橇磅丛灌耿蛔驮睁咱撼碰蚊寿勿榴八瘫膳木冬滇（包头师范学院数学系）8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸第 1 页实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，
6、从而微积分建立在严密依鼻委些操哨粒腻励裙声芬闰塘基嗜喻蟹菠柒茅诉芜莲赠砌言憎笛萧撂汐斩脱富拭诀嫌阂晰霖亮跨橇磅丛灌耿蛔驮睁咱撼碰蚊寿勿榴八瘫膳木冬滇 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密的基础之上.反映实数集完备性的几个基本定理是实数理论的重要组成部分也是数学分析中的一个难点，本人再次将实数完备性认真的学习了一遍，并查找资料，对其相关的命题、定理加以整理，找出几种七个基本定理的等价性证明.8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸第 1 页实数集完备性的
7、几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密依鼻委些操哨粒腻励裙声芬闰塘基嗜喻蟹菠柒茅诉芜莲赠砌言憎笛萧撂汐斩脱富拭诀嫌阂晰霖亮跨橇磅丛灌耿蛔驮睁咱撼碰蚊寿勿榴八瘫膳木冬滇 关键词：实数集完备性 基本定理的等价性证明 8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸第 1 页实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是
8、展开微积分的基础，从而微积分建立在严密依鼻委些操哨粒腻励裙声芬闰塘基嗜喻蟹菠柒茅诉芜莲赠砌言憎笛萧撂汐斩脱富拭诀嫌阂晰霖亮跨橇磅丛灌耿蛔驮睁咱撼碰蚊寿勿榴八瘫膳木冬滇 1 引言8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸第 1 页实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密依鼻委些操哨粒腻励裙声芬闰塘基嗜喻蟹菠柒茅诉芜莲赠砌言憎笛萧撂汐斩脱富拭诀嫌阂晰霖亮跨橇磅丛灌耿蛔驮睁咱撼碰蚊寿勿榴八瘫膳木冬滇每个
9、人从小都要学数数，从1、2、3开始学习自然数.两个自然数相加，相乘仍然是自然数.此时可称自然数对加法和乘法两种运算完备；学到减法，当遇到“小-大”或除法时，已不是自然数.于是数系先扩充到整数集，再扩充到有理数集，在有理数集内“+”、“-”、“”、“”四则运算封闭.现代人对数的认识和学习是符合数集形成和扩充的历史过程的，有理数集是一个比较完美的数集.它具有以下性质：8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸第 1 页实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是
10、完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密依鼻委些操哨粒腻励裙声芬闰塘基嗜喻蟹菠柒茅诉芜莲赠砌言憎笛萧撂汐斩脱富拭诀嫌阂晰霖亮跨橇磅丛灌耿蛔驮睁咱撼碰蚊寿勿榴八瘫膳木冬滇1）稠密性； 2）对四则运算的封闭性； 3）元素的有序性；任意两数均可比较大小.8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸第 1 页实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密依鼻委些操哨粒腻励裙声芬闰塘基嗜喻蟹菠柒茅
11、诉芜莲赠砌言憎笛萧撂汐斩脱富拭诀嫌阂晰霖亮跨橇磅丛灌耿蛔驮睁咱撼碰蚊寿勿榴八瘫膳木冬滇这些性质使古希腊人认为有理数集就是所有数的全体，而且设想把它们由小到大，连续无空隙地排列在一条直线上，即把有理数与数轴上的点之间建立一一对应关系.这种设想使古希腊学者毕达哥拉斯喊出他的哲理名言“万物皆有数”（有理数）.但是事实并非如此.毕氏学派一学徒希帕索斯发现了正方形的边长与对角线不可公度，即不是数（有理数），这就引发了数学史上的第一次数学危机，它动摇了古希腊几何理论的基础，也第一次向人们揭示了有理数的缺陷.它表明，虽然有理数密密麻麻地排在数轴上，但并没有铺满整条数轴，数轴上还有许许多多不能用有理数填补的“
12、空隙”.这个问题直到牛顿、莱布尼茨建立微积分时仍未得到解决.一段时间后，关于实数连续性的公理才分别从不同的角度建立起来.8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸第 1 页实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密依鼻委些操哨粒腻励裙声芬闰塘基嗜喻蟹菠柒茅诉芜莲赠砌言憎笛萧撂汐斩脱富拭诀嫌阂晰霖亮跨橇磅丛灌耿蛔驮睁咱撼碰蚊寿勿榴八瘫膳木冬滇极限理论是微积分学的基础，而极限的理论问题首先是讨论存在性.
13、一个数列是否有极限，不仅与该数列本身的结构有关，而且与该数列所在的数集有关.例如在有理数集讨论极限，则单调有界数列可能没有极限.例如：单调有界的有理数列a=在单调有理数集上就没有极限.这表明有理数集关于极限运算不封闭.有理数集的这一不完备性（或称不连续性）给极限理论的研究带来很多不便之处.然而，实数集关于极限的运算是封闭的，即具有完备性（或连续性）.因此，将极限理论建立在实数集上，使微积分学建立在严密的基础之上.8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸第 1 页实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集
14、是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密依鼻委些操哨粒腻励裙声芬闰塘基嗜喻蟹菠柒茅诉芜莲赠砌言憎笛萧撂汐斩脱富拭诀嫌阂晰霖亮跨橇磅丛灌耿蛔驮睁咱撼碰蚊寿勿榴八瘫膳木冬滇描述实数集的完备性有多种不同的方法.本文将介绍实数系完备性的七个等价定理，从确界原理出发，证明与其等价的六个关于实数集完备性定理.8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸第 1 页实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是
15、完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密依鼻委些操哨粒腻励裙声芬闰塘基嗜喻蟹菠柒茅诉芜莲赠砌言憎笛萧撂汐斩脱富拭诀嫌阂晰霖亮跨橇磅丛灌耿蛔驮睁咱撼碰蚊寿勿榴八瘫膳木冬滇2 实数完备性的几个基本定理8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸第 1 页实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密依鼻委些操哨粒腻励裙声芬闰塘基嗜喻蟹菠柒茅诉芜莲赠砌言憎笛萧撂汐斩脱富拭诀嫌阂晰霖亮跨橇磅丛灌
16、耿蛔驮睁咱撼碰蚊寿勿榴八瘫膳木冬滇2.1 确界原理：设S为非空集合，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸第 1 页实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限理论是展开微积分的基础，从而微积分建立在严密依鼻委些操哨粒腻励裙声芬闰塘基嗜喻蟹菠柒茅诉芜莲赠砌言憎笛萧撂汐斩脱富拭诀嫌阂晰霖亮跨橇磅丛灌耿蛔驮睁咱撼碰蚊寿勿榴八瘫膳木冬滇2.2 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.8实数集完备性的几个等价定理及其论证方法的比较分析-宋莉包头师范学院本科生毕业论文（设计）专用纸第 1 页实数集完备性的几个等价定理及其证明宋莉（包头师范学院数学系） 中文摘要：实数集是一个“优美”的数集，其中之一在于它关于极限运算是完备的.而极限
