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1、教案头授课班级 参考课时 2学习情境/单元模块/项目名称：n 阶行列式子情景名称：行列式的性质与计算本次课完成子情境内容：行列式的性质与计算方法能力目标 理 解 阶 行 列 式 的 概 念 ， 熟 练 掌 握 行 列 式 的 计 算 方 法 。学习目标知识目标 行列式的计算与性质学习重点 在 已 熟 练 掌 握 二 阶 、 三 阶 行 列 式 的 计 算 的 基 础 上 ， 进 一 步 学 习 行 列 式的 性 质 和 克 莱 姆 法 则学习难点 行 列 式 的 性 质 和 克 莱 姆 法 则教学方法 教师讲解结合学生练习参考资料 工程数学李天然主编教学详案一、回顾导入（20 分钟）复习行列式
2、的概念，按照定义计算一个四阶行列式，一般需要计算四个三阶行列式，如果计算阶数较高的行列式利用定义直接计算会比较麻烦，为简化行列式的计算，我们需要研究行列式的主要性质。二、主要教学过程（60 分钟，其中学生练习 20 分钟）一、行列式的性质定义 将行列式 D 的行换为同序数的列就得到 D 的转置行列式，记为 TD。性质 1 行列式与它的转置行列式相等。性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号。推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k，等于用数 k 乘此行列式。推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号
3、的外面。性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和。性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。二、行列式按行（列）展开定义 在 n 阶行列式中，把元素 ija所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 1n阶行列式叫做元素ija的余子式，记作 ijA。记 jM)1(，叫做元素 ija的代数余子式。引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除 ij外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ijAaD。定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数
4、余子式乘积之和，即 ),21(,21 iAaDinii 。推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 jaAjijiji 。行列式的代数余子式的重要性质：范德蒙德（Vandermonde）行列式 ;,0,1 jiAaijnkji 当当;,0,1 jiDijnkji 当当 二 、 克 莱 姆 法 则定理 如果线性方程组(1)nnbxaxa 21 222 121的系数行列式不等于零，即那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以表示为 DxxDn,21。其中 jD是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
5、定理 如果线性方程组(1)的系数行列式 0，则(1)一定有解,且解是唯一的。定理 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。定理 如果齐次线性方程组 nnbxaxa 21 222 121(2)的系数行列式 0D,则齐次线性方程组(2)没有非零解。定理 如果齐次线性方程组(2)有非零解，则齐次线性方程组(2)的系数行列式必为零。三、归纳总结（10 分钟）应用行列式的性质计算行列式特别是高阶行列式，可以简化计算；用克莱姆法则解线性方程组的基本步骤。四、课后作业练习：1如果行列式有两行的对应元素成比例，则此行列式的值为 ；2如果行列式有两行的对应元素相同，则此行列式的值为（ ）.02211nnaa .1,1,1 njnjnjjj aba .,01jiij当 ，当其 中 1112122 ).(jinjinn xxxD 3 ； ；cba21bac1
