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1、旗开得胜 读万卷书 行万里路 1 第 3 节 二项式定理 最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开 式有关的简单问题. 知 识 梳 理 1.二项式定理 (1)二项式定理：(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbn(nN+)； (2)通项公式：Tr1Crnanrbr，它表示第r1 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 C0n，C1n，Cnn. 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即 CknCnk n 增减性 二项式系数 Ckn 当k n1 2 (nN+)时，是递增的 旗开得胜 读万卷书 行万
2、里路 2 当k n1 2 (nN+)时，是递减的 二项式系数 最大值 当n为偶数时，中间的一项 2 C n n 取得最大值 当n为奇数时，中间的两项 1 2 C n n 与 1 2 C n n + 取得最大值 3.各二项式系数和 (1)(ab)n展开式的各二项式系数和：C0nC1nC2nCnn2n. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C0nC2nC4n C1nC3nC5n2n1. 微点提醒 (ab)n的展开式形式上的特点 (1)项数为n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减 1 直到
3、零；字母b按升 幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到n. (4)二项式的系数从 C0n，C1n，一直到 Cn1 n，Cnn. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 3 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)Cknankbk是二项展开式的第k项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( ) (4)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式 系数不同.( ) 解析 二项式展开式中 Cknankbk是第k1 项，二项式系数最大的项为中间一项 或中间两项，
4、故(1)(2)均不正确. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(选修 23P27 例 2 改编)(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是( ) A.Cm n B.Cm1n C.Cm1 n D.(1)m1Cm1n 旗开得胜 读万卷书 行万里路 4 解析 (xy)n展开式中第m项的系数为 Cm1 n(1)m1. 答案 D 3.(选修 23P30A3 改编) C02 019C12 019C22 019C2 019 2 019 C02 018C22 018C42 018C2 018 2 018的值为( ) A.2 B.4 C.2 019 D.2 0182 019 解析 原式 22 019 22
5、01812 24. 答案 B 4.(2018全国卷) x2 2 x 5 的展开式中x4的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 解析 Tr1Cr5(x2)5r 2 x r Cr52rx103r，由 103r4，得r2，所以x4的系数 为 C252240. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 5 答案 C 5.(2019武汉调研)已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2， a3，ak(1k11，kN)是一个递增数列，则k的最大值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 由二项式定理知，anCn1 10(n1，2，3，11). 又(x1)10展开式中二项式系数
6、最大项是第 6 项， 所以a6C510，则k的最大值为 6. 答案 B 6.(2018浙江卷)二项式 3 x 1 2x 8 的展开式的常数项是_. 解析 该二项展开式的通项公式为Tr1Cr8x 8r 3 1 2x r Cr8 1 2 r x 84r 3 .令 84r 3 0， 解得r2，所以所求常数项为 C28 1 2 2 7. 答案 7 考点一 通项公式及其应用 多维探究 旗开得胜 读万卷书 行万里路 6 角度 1 求二项展开式中的特定项 【例 11】 (1)(2018包头模拟)(x21) 1 x 2 5 的展开式的常数项是( ) A.5 B.10 C.32 D.42 (2) 3 x 1 2
7、3x 10 的展开式中所有的有理项为_. 解析 (1)由于 1 x 2 5 的通项为 Cr5 1 x 5r (2)rCr5(2)rx r5 2 ，故(x2 1) 1 x 2 5 的展开式的常数项是 C15(2)C55(2)542. (2)二项展开式的通项公式为Tk1Ck10 1 2 k x 102k 3 . 由题意 102k 3 Z，且 0k10，kN. 令 102k 3 r(rZ)，则 102k3r，k5 3 2r， kN，r应为偶数. r可取 2，0，2，即k可取 2，5，8， 旗开得胜 读万卷书 行万里路 7 第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 45 4 x2， 63
8、 8 ， 45 256x 2. 答案 (1)D (2) 45 4 x2， 63 8 ， 45 256x 2 规律方法 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符 合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1， 代回通项公式即可. 角度 2 求二项展开式中特定项的系数 【例 12】 (1)(多项式是积 的形式)(2017全国卷) 1 1 x2 (1x)6的展开式中 x2的系数为( ) A.15 B.20 C.30 D.35 (2)(多项式是和 的形式)已知(1ax)3(1x)5的展开式中含x3的系数为2，则 a等于( ) A.23 B.2 C.2 D.
9、1 (3)(一题多解)(三项展开式问题)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为( ) 旗开得胜 读万卷书 行万里路 8 A.10 B.20 C.30 D.60 解析 (1)因为(1x)6的通项为 Cr6xr，所以 1 1 x2 (1x)6展开式中含x2的项为 1C26x2和 1 x2C 4 6x4，因为 C26C462C262 65 2130， 所以 1 1 x2 (1x)6展开式中x2的系数为 30. (2)(1ax)3(1x)5的展开式中x3的系数为 C33a3C35(1)3a3102， 则 a38，解得a2. (3)法一 (x2xy)5(x2x)y5， 含y2的项为T3C25(x2x
10、)3y2. 其中(x2x)3中含x5的项为 C13x4xC13x5. 所以x5y2的系数为 C25C1330. 法二 (x2xy)5表示 5 个x2xy之积. x5y2可从其中 5 个因式中，两个取因式中x2，剩余的 3 个因式中 1 个取x，其 余因式取y，因此x5y2的系数为 C25C13C2230. 答案 (1)C (2)B (3)C 旗开得胜 读万卷书 行万里路 9 规律方法 1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项， 再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解. 2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考 虑特定项产生的每一种情形，求出
11、相应的特定项，最后进行合并即可. 3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式 积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整 体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形. 【训练 1】 (1)(2017全国卷改编)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为 _. (2)在(1 3 x)7 x a x 6 的展开式中，若x2的系数为 19，则a_. 解析 (1)由二项式定理可得， 展开式中含x3y3的项为xC35(2x)2(y)3yC25(2x)3 (y)240 x3y3，则x3y3的系数为 40. (2)(
12、1 3 x)7 x a x 6 的展开式中x2的系数为C67( 3 x)6C16(x)5 a x 1 C67x2C16x2a，则aC16C6719，解得a2. 答案 (1)40 (2)2 旗开得胜 读万卷书 行万里路 10 考点二 二项式系数与各项的系数问题 【例 2】 (1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为 32，则a _. (2)(2018汕头质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9， 且 (a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_. 解析 (1)设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 令x1，得 16
13、(a1)a0a1a2a3a4a5， 令x1，得 0a0a1a2a3a4a5. ，得 16(a1)2(a1a3a5)， 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)， 所以8(a1)32， 解得a3. (2)令x0，则(2m)9a0a1a2a9， 令x2，则m9a0a1a2a3a9， 又(a0a2a8)2(a1a3a9)2 (a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39， (2m)9m939，m(2m)3， 旗开得胜 读万卷书 行万里路 11 m3 或m1. 答案 (1)3 (2)1 或3 规律方法 1.“赋值法”普遍适用于恒等式， 是一种重要的方法， 对形如(axb)n， (
14、ax2bxc)m (a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2.若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数 项系数之和为a0a2a4 f（1）f（1） 2 ，偶数项系数之和为a1a3 a5 f（1）f（1） 2 . 【训练 2】 (1)(2019阜新实验中学模拟)已知 x3 2 x n 的展开式的各项系数和为 243，则展开式中x7的系数为( ) A.5 B.40 C.20 D.10 (2)(2019湘潭三模)若(1x)(12x)8a0a1xa9x9，xR， 则a12a222 a929的值为( ) A.29 B.291 C.39 D.3
15、91 解析 (1)由 x3 2 x n 的展开式的各项系数和为 243，令x1 得 3n243，即n 旗开得胜 读万卷书 行万里路 12 5， x3 2 x n x3 2 x 5 ，则Tr1Cr5(x3)5r 2 x r 2rCr5x154r，令 154r 7，得r2，展开式中x7的系数为 22C2540. (2)(1x)(12x)8a0a1xa2x2a9x9，令x0，得a01；令x2，得 a0a12a222a92939， a12a222a929391. 答案 (1)B (2)D 考点三 二项式系数的性质 多维探究 角度 1 二项式系数的最值问题 【例 31】 (2019马鞍山二模)二项式 3x 1 3 x n 的展开式中只有第 11 项的 二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(
