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1、第九章 假设检验一、大纲要求(1)理解假设检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的两类错误。(2)了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验.二、重点知识结构图基本步骤两类错误正态总体的均值和方差的检验三、基本知识1.假设检验的几个术语定义 1 给定 ,不等式 确定了关于 的一个区域k0/XknX假设检验1.提出假设 0H2.找统计量3.求临界值4.求观察值5.作出判断第一类错误： 0H为真拒绝 0第二类错误： 为假接受u检验法t检验法 2检验法F检验法00, ,kknn当 落入此区域内，就拒绝 (接受 ),称上式这类区域为 的拒绝域,记为X0H1 0H.Z不等式 确定
2、了关于 的另外一个区域0/knX00,kn当 落入此区域内，就接受 (拒绝 ),称上类区域为接受域,记为 .X0H1 Z不等式 称为临界值形式的接受域, 称为区0/kn00,kn间形式的接受域.定义 2 称 为原假设(或零假设),称 为备择假设 (或备选假设、对立假0H1H设).定义 3 称允许作判断有错误的概率 为显著性水平 (或检验水平),它是用来衡量原假设与实际情况差异是否明显的标准.定义 4 称 为临界值k小概率原理:小概率事件在一次试验中是不大会发生的 .2.假设检验的两类错误第一类错误: 正确,但拒绝了它,这类错误称为“ 弃真错误”.0H第二类错误: 不正确,但接受了它,这类错误称
3、为 “存伪错误”.3.假设检验的基本步骤(1)提出假设;(2)找统计量(这里要求该统计量含有待检验的参数);(3)求临界值(求接受域);(4)求观察值;(5)作出判断.4. 检验法u已知方差 ,假设检验 .200:H(1)提出假设 .0:(2)找统计量. 确定样本函数: ,称其为 的统计量,它含有01/XuNnu待检验参数 .(3)求临界值. 给定显著性水平 ,查正态分布表求出临界值 ,使/2,即 ./2Pu/21Pu(4)求观察值. 根据给定的样本求出统计量 的观察值 .u1(5)作出判断. 若 ,则接受 ;若 ,则拒绝 .1/20H1/20H5. 检验法t未知方差 ,假设检验 .200:(
4、1)提出假设 .0:H(2)找统计量. 因为 未知,这时 已不是统计量,所以不能用 检验法,这里用2uu来代替 ,找出统计量: .2S20/XtSn(3)求临界值. 对给定显著性水平 ,由 分布表查得临界值,使1t./2Pt(4)求观察值. 根据给定的样本算出统计量 的观察值 .t1t(5)作出判断. 若 ,则接受 ;若 ,则拒绝 .1/2t0H1/20H6. 检验法2已知期望 ,假设检验 .20:(1)提出假设 .20:H(2)找统计量. 确定样本函数的统计量: 2210()niiXn(3)求临界值. 对给定显著性水平 ,由 分布表查得临界值2与 ,使2/n21/2 2/ 1/2, PnPn
5、即 21/2/(4)求观察值. 根据给定的样本算出统计量 的观察值 .221(5)作出判断. 若 ,则接受 ;若 或 221/ /nn 0H/2n21,则拒绝 .21/n0H7. 检验法F已知期望 ,假设检验12210:(1)提出假设 .102:H(2)找统计量 12211221(),niiiiXFFnY(3)求临界值 . 对给定显著性水平 ,查 分布表,求得 及0/21,Fn,使1/2Fn/211/2, ,PFnPFn即 1/ /2(4)求观察值 .由所给定的样本算出统计量的值 .1(5)作出判断. 若 ,则接受 ;若1/2/21,FnFn 0H或 ,则拒绝 .1/21,Fn/120四、典型
6、例题例 1 有两批棉纱,为比较其断裂强度,从中各取一个样本,测试得到:第一批棉纱样本 ;1120,.53kg,0.28kgnXS第二批棉纱样本 .7676试验证两批棉纱断裂强度的均值有无显著差异(检验水平 )?如果5呢?0.1解 这是两个正态总体的均值检验问题,检验 .0:HEXY1 20, ,1/ /XEYNNDnDn因为是大样本( 均较大),所以 、 可用 代入,近似有12,X21S、212, ,SXEYEnn故 21,SYN由于 与 相互独立,若 成立,则X0:HEXY21,Sn故 210,YuN因此,只要是大样本(容量较大时),不管总体 、 是否服从正态分布,是否XY,都可以按 检验法
7、 已知的情况去做近似检验.DXYu2由已知得 221 10, .53, 0.8nS2 27676X故 2221.8018YuSn当 时,查表得 .0.5/296因 ,故 被接受,即在检验水平 下可以认为这两/218.u0H0.5种棉纱的强力值无显著差异.当 时,查表得 .0.1/2165u因 , 落入拒绝域,应否定 ,即在检验水平 下/28.u0H0.1可以认为这两种棉纱的强力值有显著差异.例 2 某农业试验站为了研究某种新化肥对农作物产量的效力,在若干小区进行试验.测得产量(单位:kg)如下:施肥 34 35 32 33 30 34未施肥 29 27 32 28 31 32 31设农场的产量
8、服从正态分布,检验该种化肥对提高产量的效力是否显著? 0.1解 设 为施肥后的产量, 为施肥前的产量.已知XY21,XNY.由于总体方差 和 均未知,应先对方差进行检验,即 ,2,2102:H.12:H由题意可知 67113, 30i iiXY6 722221 1()., ()456i ii iSSY 213.084F已知 ,查表得 .120.,67n/2120.5,649nF因为 ,所以接受 ,即认为 .5F0H提出检验问题,即 11022:12221 .8nXYtnS已知 ,查表得 .0.120.1364tt因为 ,所以拒绝 ,即认为该种化肥对提高产量的效力显著.128ttH例 3 某种配
9、偶的后代按体格的属性分为三类,各类的数据是:10,53,46.按照某种遗传模型,其频率之比应为 ,问数据与模型是否相符? 22:1:pp0.5解 令 ,欲检验的假设为 :数据与模型221 3,p0H相符.设观察到的三类数量分别为 ,其中 ,则 的似然函数为123n123np3122 123 0,5,46nLpppn 由于 122lLnp解得 的极大似然估计为 pA12053.8p从而 210.3.250.6.45A223.p统计量观测值为 A2321iiiinp22209.53109.46109.4.81已知 ,自由度 ,查表得52n20.53.8由于 ,故接受 ,即数据与模型相符.220.3
10、.410H例 4 设某次考试考生成绩服从正态分布,从中随机抽取 36 位考生的成绩,算得平均成绩为 66.5 分,标准差为 15 分,问在 时是否可以认为这次考试.5全体考生的平均成绩为 70 分?解 设该次考试考生的成绩为 ,则 .把从 中抽取的容量为X2,NX的样本均值记为 ,样本标准差记为 ，检验假设 .则nXS01:7,:0H1/27036XutnS已知 ,所以0.97536,.,1,.0nt0.975632.1unt所以接受假设 ,即 时,可以认为这次考试全体考生的平均成绩0:7H.为 70 分.例 5 某一指标服从正态分布,今对该指标测量 8 次,所得数据为:68,43,70,65
11、,55,56,60,72.在以下两种条件下,检验 .(1)总体均值 未知;(2)20:0.5H总体均值 .60解 (1)检验假设 ,用 检验,得20:828 8221 154.7, ()65.8i ii iXnSX 故 226.0.8查表得 .因 ,故接受220.50.97581.3,1220.50.97588.0H(2)检验假设 ,而 ,故20:68221()63iinSX220.48由于 ,故接受 .220.50.975880H例 6 从某锌矿的东西两支矿脉中,各抽取容量分别为 9 和 8 的样本分析后,计算其样本含锌量(%)的平均值与方差分别如下:东支 211.3, .37, XSn西支
12、 22069068Y假定东西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,对于 ,能否认为两支矿0.5脉的含锌量相同?解 设东支矿脉的含锌量为 , ;西支矿脉的含锌量为 ,X21,NY;其中 、 2、 1、 2均为未知参数.2,N1(1)检验假设 201:,:H.则122,SFn已知 2129,0.37,8,0.736nSn,计算得 2.1查表得 0.250.9750.2518,4,8,7,84.3FF因 1.4.3,故接受假设 1H,即认为 21.(2)检验假设 02122:,:,这属于 t检验,检验统计量为1212221 nXYt tnnS已知 2129,0.37,8,0.736,计算得98150.28
13、.1.t查表得 0.2535t.因 23t,故接受假设 02H,即认为两支矿脉的含锌量相同.例 7 在 20 世纪 70 年代后期人们发现,酿啤酒时,在麦芽糖干燥过程中会形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA),于是 80 年代初期开发了一种新的麦芽糖干燥过程.下面给出分别在新老两种过程中所形成的(NDMA)含量(以 10 亿份中的份数计).老过程 6 4 5 5 6 5 5 6 4 6 7 4新过程 2 1 2 2 1 0 3 2 1 0 1 3设两样本分布来自正态总体,两总体方差相等,两样本独立,分别以 1、 2记对应于新老两过程的总体均值,检验假设 01212:,:0.5H.解 该检验的拒绝域为 1212WXYttnS已知 12,0.5n,查表得 120.51.7tt.由已知数据计算得 ., .XY22121056.72833WnS5.8108412t由于 t在拒绝域中,故应拒绝 0H.例 8 某厂使用两种不同的原料 A、B 生产同一类产品,各在一周的产品中取样进行分析比较,取使用原料 A 生产的样品 220 件,测得平均重量为 2.46kg,样本标准差 0.57kgS;取使用原料 B 生产的样品 205 件,测得平均重量为 2.55kg,样本标准差 48,设这
