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1、 1第一章 概率论的基本概念 一、概率的定义 ，和由此推得的概率性质 ： （ 1） )()()()( ABPBPAPBAP +=U ； （ 2） 当 A， B 不相容时 ， )()()( BPAPBAP +=U ； （ 3） )()()()( ABPAPBAPBAP = ； （ 4） 当 AB 时， )()()( BPAPBAP = （ 5） )()()( BAPABPAP += ； （ 6） )(1)( APAP = （ 7） )(1)()( BAPBAPBAP UU = ； （ 8） )(1)()( ABPABPBAP =U ； 例如例如例如例如 ： 当 k 为何值时 ，有 )()()()
2、( ABkPBPAPBABAP +=U (答案： k=-2) 二、古典概型 （ 难点难点难点难点 ） 例例例例 1： 设袋中有 a只白球 ， b 只红球 ，按下列两种方式，从中随机地抽取 n只球 ，求其中恰有 )( akk 只白球的概率 。（ 1）不放回抽样 ；（ 2）放回抽样 。 2答案 ： （ 1）不放回抽样 n baknbkaCCCp+=1 （ 2）放回抽样 nknkknbabaCp)(2 +=例例例例 2： 袋中有 a只白球 ， b 只红球 ， k 个人依次在袋中取一只球 ，（ 1）作放回抽样 ；（ 2）作不放回抽样 ，求第 ),3,2,1( kii L= 人取到白球的概率 （ bak
3、 + ）。 答案 ： 都为 baaBp+=)( (ZU 书 P16) 三、条件概率 、全概率公式和贝叶斯 （ Bayes）公式 （ 重点重点重点重点 ） 条件概率符合概率定义中的三个条件 ： (1) 非负性 ：对于每一事件 B，都有 0)|( ABP ； (2) 规范性 ： 1)|( =ASP ； (3) 可列可加性 ： 设 L, 321 BBB 是两两互不相容的事件 ，则有 =11)|()|(iiii ABPABPU 3)()|()()|()()|()( 2211 nn BPBAPBPBAPBPBAPAP += L= nkkkiiiBPBAPBPBAPABP1)()|()()|()|(四、事
4、件的独立性 事件的独立性与不相容 性 相互独立与 两两独立的区别 1)(0 AP ，若 BA, 相互独立 ，则 )()|( BPABP = ，反之也成立 。 若事件 BA, 相互独立 ，则 A与 B ， A 与 B， A 与 B 三对事件也相互独立 。 4第二章 随机变量及其分布 一、 随机变量的定义 （ 难点难点难点难点 ） 二、 分布函数的定义与性质 （ 重点重点重点重点 ） )( xXPxF = 1、 )(xF 是一个不减函数 ，对于任意实数 )(, 2121 xxxx xFxF xx ； 3、 )(xF 是右连续的 ， 即 )()(lim xFuFxu = 。 例如例如例如例如 ：设连
5、续型随机变量 X 的分布函数为 等事件的概率 。 3、三种常见的离散型随机变量 （1） 0-1 分布 kk ppkXP = 1)1( 1,0=k （2） 二项分布 （ 重点重点重点重点 ） knkkn ppCkXP = )1( nk ,3,2,1,0 L= （3） 泊松分布 ! kekXP k =L,2,1,0=k 4、离散型随机变量的分布律的求法 注意确定随机变量的取值范围 6四、 连续型随机变量及其概率密度 1、连续 型随机变量的定义 连续型随机变量的分布函数是连续函数 。 2、概率密度的性质 （ 1） 0)( xf ； （ 2） +=1)( dxxf ； （ 3） 对于任意实数 )(,
6、2121 xxxx ， = 其它001)( / xexf x 其中 0 = 其它001)( / xexF x （ 3） 正态分布 222)(21)( =xexf + zXP ，称 z 为标 准正态分布的 上上上上 分位分位分位分位点点点点。 。 五、 随机变 量的函数的分布 1、 首先确定新的随机变量的取值范围 ； 2、 根据给定的函数关系式 ，确立新的随机变量与 原来的随机变量的分布函数的关系 。 )(XgZ = )()( zXgPzZP = 8第三章 多维随机变量及其分布 一、 二维随机变量分布函数的定义与性质 ,)()(),( yYxXPyYxXPyxF = 记成I (1) 1),(0
7、yxF ， +21XP 。 13七、 随机变量的独立性 )()(),( yFxFyxF YX= 1、 离散型随机变量的独立性 , jiji yYPxXPyYxXP = 2、 连续型随机变量的独立性 ),()()( yxfyfxf YX = 3、 n维随机变量的独立性 )()()(),( 2121 21 nXXXn xFxFxFxxxF nLL = 例如例如例如例如 ：已知 ),( YX 的分布函数为 +=otherwiseyxyxyxyxF00,111 111),(1) 求 X 和 Y 的边缘分布函数 ； (2) X 和 Y 是否是相互独立的 ？ 设 两 个 随 机 变 量 X 与 Y 相 互
8、 独 立 且 同 分 布 ，2111 = YPXP ，2111 = YPXP ，则下列各式中成立的是 ： （ A） 21 =YXP （ B） 1 =YXP （ C） 410 =+YXP （ D） 411 =XYP 14八、 两个随机变量的函数的分布 1、 YXZ += 的分布 += dxxzxfdyyyZ ),(),()( 当 X 和 Y 相互独立且 ),(),( 222211 NYNX ， 则 ),( 222121 += NYXZ 泊松分布和二项分布也有类似的结论 。 2、 ),max( YXM = 和 ),min( YXN = 的分布 设 nXXX , 21 L 是 相 互 独 立 的 随
9、 机 变 量 ， 则),max( 21 nXXXM L= 和 ),min( 21 nXXXN L= 的分布函数为 )()()()(21maxnXXXL=)(1)(1)(11)(21minnXXX= L 例如例如例如例如 ： 设 X 和 Y 为两个随机变量 ,且 730,0 = YXP ， 7400 = YPXP ，求 0),max( YXP 。 154、 一般情形 比 如 已 知 YX, 的 联 合 概 率 密 度 ),( yxf ， 要 求),( YXGZ = 的概率密度 =zYXGdxdyyxfzZP),(),()( 注意 :分布函数 )( 的表达式 ，要按 z 取不同区间的值来讨论 。
10、例如例如例如例如 ：设二维随机变量 ),( YX 的概率密度为 +=XYXYYXYYZ)(50010001000的数学期望 。 3、 数学期望的性质 (1) ccE =)( ； (2) )()( XcEcXE = ； (3) )()()( YEXEYXE +=+ ； (4) 若随机变量 X 和 Y 相互独立 ，则有 )()()( YEXEXYE = 二、 方差 1、 方差的定义 )()( 2XEXEXD = ， 称 )(XD 为 标准差标准差标准差标准差 （或 均方差均方差均方差均方差 ）。 常用的计算公式 ： 22 )()()( XEXEXD = 2、性质 （1） 0)( =cD ； （2）
11、 )()( 2 XDccXD = ； （3） )()(2)()()( YEYXEXEYDXDYXD +=+ 18若 YX, 独立 ， 则 )()()( YDXDYXD +=+ （4） 0)( =XD 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 c， 即 1 = cXP 注注注注： ：( (1)、 )()()( YDXDXYD = 不一定成立不一定成立不一定成立不一定成立 。 (2)、 )()()()()( YEXEXYEYEYXEXE = (3)、若 21, XX 独立 ，则 )()()( 2221212211 XDkXDkXkXkD +=+ 3、六个常见随机变量的 数学期望 与 方差 ： （ 1）
12、 0-1 分布 pXE =)( ， pqXD =)( （ 2） 二项分布 npXE =)( ， npqXD =)( （ 3） 泊松分布 =)(XE ， =)(XD （ 4） 均匀分布 2)( baXE += ， 12 )()(2abXD = （ 5） 指数分布 =)(XE ， 2)( =XD （ 6） 正态分布 =)(XE ， 2)( =XD 例如例如例如例如 ： ),( 2NX ， )( eY ，求 )( 22 YXE + 已知 X 的概率密度为 12221)( += xxxf ， 求 )( 2XE 。 19三、 协方差与相关 系数 1、 协方差与相关系数的定义 )()(),( YEYXEX
13、EYXCov = )()(),(YDXDYXCovXY = 协方差常用的计算公式 )()()(),( YEXEXYEYXCov = ),(2)()()( YXCovYDXDYXD +=+ 2、协方差的性质 （1） 0),( =cXCov （2） )(),( XDXXCov = （3） ),(),( XYCovYXCov = （4） ),(),( YXabCovbYaXCov = （5） ),(),(),( 2121 YXCovYXCovYXXCov +=+ 注意 ：二维正态分布的相关系数等于参数 。 3、相关系数的性质与不相关的定义 (1) 1| XY ; (2) 1| =XY 的充要条件是存在常数 ba, 使 1 =+ YbaXP ，并且当 0a 时 1=XY ，当0 = x tnn dtexxpnp npP 2/221)()1(lim （可利用这个定理来近似求服从二项分布的随机事件的概率）
