三角形的定义 在同一平面上，由三条边首尾相接组成的内角和为180（一定是180,这是个准确的数）的封闭图形叫做三角形三角形是几何图案的基本图形，各种多边形都是由三角形组成的 三角形的内角和 在欧几里德的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角注：在非欧几何中，三角形的内角和有可能大于180度也有可能小于180，此时的三角形也从平面也变为了球面或者伪球面） 证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《培优：走进三角形》 如何证明三角形的内角和等于180 方法1：将三角形的三个角撕下来拼在一起，可求出内角和为180 方法2：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为180 例题：已知有一△ABC，求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180 证明：做BC的延长线至点D,过点C作AB的平行线至点E ∵AB∥CE（已知） ∴∠ABC=∠ECD(两直线平行,同位角相等),∠BAC=∠ACE(两直线平行，内错角相等) ∵∠BCD=180 ∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180（等式的性质） ∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180（等量代换） 三角形分类 (1)按角度分 a.锐角三角形：三个角都小于90度 。
三个角都为锐角，等边三角形也是锐角三角形 b.直角三角形（简称Rt△）： ①直角三角形两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.； ④在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30（和③相反）； c.钝角三角形：有一个角大于90度 d.证明全等时可用HL方法 *（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形） （2）按边分 不等边三角形；等腰三角形（含等边三角形） 解直角三角形（斜三角形特殊情况）： 等边三角形 勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边 勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数比如：3，4，5他们分别是3，4和5的倍数 常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等. 其中，互素的勾股数组成为基本勾股数组，例如：3,4,5；5,12,13；8,15,17等等 解斜三角形： 在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有 （1）正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。
（3）余弦定理变形公式 cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法： 已知条件定理应用一般解法 一边和两角 （如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时 有一解两边和夹角 (如a、b、c)余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解三边 (如a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解两边和其中一边的对角 (如a、b、A)正弦定理由正弦定理求出角B，由A+B+C=180˙求出角C，在利用正 弦定理求出C边，可有两解、一解或无解编辑本段三角形的性质 1.三角形的两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的两边的差一定小于第三边 2.三角形内角和等于180度 3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一 4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 5.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和 6.一个三角形的3个内角中最少有2个锐角 7.三角形的三条角平分线交与一点，三条高线交与一点，三条中线交于一点 10.直角等腰三角形底角的角平分线校对边的点为这条边的中点 9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：a^2+b^2=c^2 那么这个三角形就一定是直角三角形 10.三角形的外角和是360 11.等底等高的三角形面积相等 12.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比 13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4 14.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC 15.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 16.全等三角形对应边相等，对应角相等 17.三角形的重心在三条中线的交点上 18在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度 （包括等边三角形） 19 △ABC，恒有【tan（A/2）+tan（B/2）】【tan（A/2）+tan（C/2）】=【sec（A/2）】^2。
20 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 21 三角形的外心指三角形三条边的垂直平分线的相交点 22 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心 23.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形 编辑本段三角形的全等定义 两个完全重合的三角形称为全等三角形 变化的方式 1.轴对称2.平移3.旋转4.翻折5.多种变换叠加 条件 1.两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS" 2.两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS” 3.两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA” 4.两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS” 5.两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“直角边、斜边”或“HL” 注意，证明三角形全等没有“SSA”或“边边角”的方法，即两边机器一边的对角相等无法证明这两个三角形全等，但从意义上来说，直角三角形的“HL”证明等同“SSA” 编辑本段三角形的五心、四圆、三点、一线五心的坐标 三角形的五心四圆三点一线这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。
五心”指重心（barycenter）、垂心、内心(incenter)、外心(circumcenter)和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线 以下记三角形的三个顶点为A、B、C，相应的对边边长为a、b、c，系数K(a) = -a^2+b^2+c^2，K(b)、K(c)类推三线坐标各分量直接乘以相应边长即可转换为面积坐标，以某点的面积坐标结合三顶点坐标计算该点平面直角坐标的方法：记某点面积坐标为(μa, μb, μc)，三分量之和为μ，则有Px = (μaXa + μbXb + μcXc) / μ，Py类推 名称定义三线坐标 （内心坐标）面积坐标 （重心坐标）重心三条中线（顶点到对边中点连线）的交点1/a : 1/b : 1/c1 : 1 : 1垂心三条高（顶点到对边的垂线）的交点sec A : sec B : sec C1/K(a) : 1/K(b) : 1/K(c) 或 tan(A) : tan(B) : tan(C)内心三条内角平分线的交点1 : 1 : 1a : b : c外心三边中垂线的交点cos A : cos B : cos Ca^2K(a) : b^2K(b) : c^2K(c)旁心一内角平分线和另两角外角平分线的交点-1 : 1 : 1，余类推-a : b : c ，余类推四圆 内切圆：以内心为圆心，以内心到边的距离为半径的圆，与三角形三边都相切。
外接圆：以外心为圆心，以外心到顶点的距离为半径的圆，三角形三个顶点都在圆周上 旁切圆：以旁心为圆心，以旁心到边的距离为半径的圆，与三角形一边及另两边延长线相切 欧拉圆：又称“九点圆”，即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆九点圆圆心为垂心与外心连线中点，三线坐标为：cos(B - C) : cos(C - A) : cos(A - B)，半径为外接圆半径的一半内切圆与欧拉圆在某一欧拉点相切 三点 名称定义三线坐标勒莫恩点三个顶点与内切圆切点连线的交点，又称类似重心a : b : c奈格尔点三个顶点与旁切圆切点连线的交点，又称界心csc^2(A/2) : csc^2(B/2) : csc^2(C/2) 欧拉点三个顶点到垂心连线的中点，又称费尔巴哈点（暂缺）一线 垂心、重心、外心和九点圆圆心四点共线，这条直线称为欧拉线 界心(不常见) 三角形三条周界中线的交点叫做三角形的界心 三角形界心性质：设点D、E、F分别为⊿ABC的BC、CA、AB边上的周界中点，R、r分别为⊿ABC的 外接圆和内切圆的半径，则 （1）S⊿DEF/S⊿ABC=r/2R； （2）S⊿DEF≤S⊿ABC/4。
五心的距离 OH^2=9R^2 – (a^2+b^2+c^2), OG^2=R^2 – (a^2+b^2+c^2)/9, OI^2=R^2 – abc/(a+b+c)=R^2 – 2Rr GH^2=4OG^2 GI^2=(p^2+5r^2 – 16Rr)/9, HI^2=4R^2-p^2+3r^2+4Rr=4R^2+2r^2-(a^2+b^2+c^2)/2, 三角形为什么具有稳定性 任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接 ∵第三条边不可伸缩或弯折 ∴两端点距离固定 ∴这两条边的夹角固定 ∵这两条边是任取的 ∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定 ∴三角形有稳定性 任取n边形(n≥4)两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接 ∴两端点距离不固定 ∴这两边夹角不固定 ∴n边形(n≥4)每个角都不固定，所以n边形(n≥4)没有稳定性 三角形的边角之间的关系 （1）三角形三内角和等于180,这个定理的证明方法有很多种,(即辅助线的做法,)体现了几何中的一题多解的思维方法,。