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1、【课前小测摸底细】1.【人教A版教材必修5习题改编】在等比数列中，如果公比，那么等比数列是()A递增数列 B递减数列C常数列 D无法确定数列的增减性【答案】D【解析】当时，数列为递减数列，当时，数列为递增数列，当时，数列为摆动数列，故当公比时无法确定数列的增减性.2.【2016天津理5】设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（ ）.A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C3. 【洛阳市2016年高三综合练习题（五）】已知为正项等比数列，是它的前项和，若， 且与的等差中项为，则 的值（ ）A29 B31 C33 D35【答
2、案】B【解析】试题分析：由题意得，因此，因此选B.4.【基础经典试题】设为等比数列的前项和，则() A11 B8 C5 D11【答案】A【解析】设等比数列的首项为，公比为.因为，所以,，.5.【改编2015高考安徽，理14】已知数列为等比数列，且，则数列的前项和等于 .【答案】或【考点深度剖析】 等比数列也是高考的常考内容，以等比数列的基本公式及基本运算为基础，可考查单一的等比数列问题，但更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性【经典例题精析】考点1 等比数列的定义，通项公式，前项和的基本运算【1-
3、1】【2014重庆高考第2题】对任意等比数列,下列说法一定正确的是( )成等比数列 成等比数列成等比数列 成等比数列【答案】D【解析】因为数列为等比数列，设其公比为，则所以，一定成等比数列，故选D.【1-2】【洛阳市2015-2016学年高中三年级统一考试（理A）】若是由正数组成的等比数列，其前项和为，已知且，则（ ）A B C D【答案】C【解析】，所以，选C.【1-3】【广东省湛江市2016年普通高考测试题（二）数学理试题】设数列为等差数列，为等比数列若，且，则数列的公比为（ ）A B C D【答案】B【解析】综合点评：等比数列的基本运算，与等比数列的判定，关于等比数列的基本运算，其实质就
4、是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量在判断一个数列是否为等比数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般是先建立与的关系式或递推关系式，表示出，然后验证其是否为一个与无关的常数 【课本回眸】1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“
5、常数”、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：.说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.3等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）4等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.说明：（1）（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.5. 等差数列与等比数列的区分与联系(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比
6、数列(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列【方法规律技巧】1. 等比数列的判定方法(1)定义法：对于数列，若，则数列是等比数列； (2)等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；(3)通项公式法 (均是不为0的常数，)是等比数列2. 求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)
7、方程的思想：在解有关等比数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解即等比数列的通项公式及前项和公式或，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论3. 特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.这对已知几数之积,
8、求数列各项,运算很方便.4. 等比数列的前项和公式若已知首项和末项，则，或等比数列an的首项是，公比是，则其前项和公式为.5. 若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可【新题变式探究】【变式一】【陕西省2016届高考全真模拟（四）考试数学（理）试题】等差数列和等比数列的首项都是 , 公差公比都是,则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：因,故,应选D. 【变式二】【河南省豫北重点中学2016届高三下学期第二次联考（理科）】等差数列的前项和为，数列是等比数列，且满足，数列的前项和，若对一切正整数都成立，则的最小值为_.【答案】【解析】考点2 等比数列的性质【2-
9、1】【2016年大连八中、二十四中联考】在等比数列中，若有，则（ ）A B C D 【答案】C【2-2】【湖南省2016届高考冲刺卷数学（理）试题（三）】设是等比数列的前项和，若，则（ ）A B C D或【答案】B【解析】试题分析：，选B. 【2-3】【上海市高三八校联合调研考试数学试题】已知公比为的等比数列的前项和为，则下列结论中：（1）成等比数列；（2）；（3）正确的结论为 （ ）（）（1）（2） （）（1）（3） （）（2）（3） （）（1）（2）（3）【答案】C【解析】根据等比数列的性质，则，(2)(3)是正确的，但当时，(1)不正确，故选C【课本回眸】1.等比数列的性质：（1）在等比
10、数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，；，；（3）在等比数列中，对任意，；（4）在等比数列中，若，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：.（5）若数列是等比数列，且公比不为1，是其前项的和，那么，成等比数列.如下图所示： .（6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、仍为等比数列（7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列2. 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，成等比数列，且公比为.3.等比数列的单调性当或时，为递增数列，当或时，为递减数列【方法规律技巧】1. 等比数
11、列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题2.等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系3.应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式4. 在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究【新题变式探究】【变式一】【2016海南中学考前
12、模拟】一弹性小球从100高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，设它第次着地 时，共经过了，则当时，有（ ） A的最小值为100 B的最大值为400 C D 【答案】C【变式二】【江西省高安中学高三命题中学模拟押题】等比数列的前项和为，已知，且，则实数的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】考点3 等差数列与等比数列的综合应用【3-1】【2016届广东省湛江市普通高考测试题（二）理科数学试卷】设数列为等差数列，为等比数列若，且，则数列的公比为（ ）A B C D【答案】B【解析】【3-2】【陕西宝鸡金台区高三会考试题】设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的
13、等比数列，则等于( )A.78 B.84 C.124 D.126【答案】D【解析】因为数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，得，是以1为首项，2为公比的等比数列，【3-3】【2016届内蒙古赤峰市高三4月统一能力测试数学（理）试卷】设是公差的等差数列的前项和，且成等比数列，则（ ）A B3 C D2【答案】A【解析】【课本回眸】 等差数列和等比数列等差数列等比数列定义 常数常数通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,) 为等差数列； (4)前n项和公式法：(为常数, ) 为等差数列；(5) 为等比数列，且，那么数列 (，且)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法： () 为等比数列(3)通项公式法： (均是不为0的常数，)为等比数列(4) 为等差数列(总有意义)为等比数列性质(1)若，且，则(2) (3)
