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1、【解析分类汇编系列一：北京 2013 高三期末】：9 圆锥曲线一、选择题1 （北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）已知抛物线 2ypx的焦点F与双曲线2179xy的右焦点重合，抛物线的准线与 x轴的交点为 K，点 A在抛物线上且 |AKF，则 AK的面积为（）A4 B8 C16 D32 来源:学科网【答案】D【解析】双曲线的右焦点为 (4,0)，抛物线的焦点为 (,0)2p，所以 4，即 8p。所以抛物线方程为 216yx，焦点 ,F,准线方程 4x，即 ,K,设2(,)16yA, 过 A 做 M垂直于准线于 M,由抛物线的定义可知AMF,所以 2AKF,即 K,所以2(
2、4)16y，整理得 21640y，即 (8)0y，所以 8y，所以 832AFS,选 D.来源:学科网4 （北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知直线和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的1:360lxy2:1lx24yxP1l2l距离之和的最小值是 （）A B C D553【答案】B【 解析 】因为抛物线的方程为 ，所以焦点坐标 ,准线方程为 。所以设24yx(10)F1x到准线的距离为 ,则 。 到直线 的距离为 ，PPBFP1:436lxyPA所以 ,其中 为焦点到直线 的距离，所以AD，所以距离之和最小值是 2，选 B. 24061253FD5（ 北京
3、市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 )0,5(1F，点 P 在双曲线上，且线段 PF1的中点坐标为 (0,2)，则此双曲线的方程是 （）A 42yxB 42yxC 32yxD 132yx【答案】B【解析】由双曲线的焦点可知 5c，线段 PF1的中点坐标为 (0,2)，所以设右焦点为 2F，则有 2PFx，且 24，点 P 在双曲线右支上。所以 215436PF，所以 12642PFa，所以 221,4bca，所以双曲线的方程为42yx，选 B.6（ 北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）椭圆2:1(0)xyCab的左右焦
4、点分别为 12,F，若椭圆 C上恰好有 6 个不同的点 P，使得 12F为等腰三角形，则椭圆 C的离心率的取值范围是（）A2(,)3B(,)2C2(,1)3D(,),32【答案】D 来源:Z_xx_k.Com【解析】当点 P 位于椭圆的两个短轴端点时， 12FP为等腰三角形，此时有 2 个。,若点不在短轴的端点时，要使 12FP为等腰三角形，则有12PFc或 21PFc。此时 2ac。所 以有 12FP，即ca，所以 3a，即 3，又当点 P 不在短轴上，所以 1B，即2，所以 12c。所以椭圆的离心率满足 1e且 12，即(,),32，所以选D.二、填空题8 （北京市西城区 2013 届高三
5、上学期期末考试数学理科试题）已知椭圆 214xy的两个焦点是 1F， 2，点 P在该椭圆上若 12|PF，则 12PF的面积是_ 【答案】【解析】由椭圆的方程可知 2,ac，且 12|4a，所以解得12|3,|1PF，又 1|F，所以有 221|PFF，即三角形21PF为直角三角形，所以 12PF的面积 1221SFP。9 （北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷）在平面直角坐标系 中,设抛物线xOy的焦点为 ,准线为 为抛物线上一点, , 为垂足.如果直线 的xy42l lAAF倾斜角为 ,那么 _.10PF【答案】4【解析】抛物线的焦点坐标为 ,准线方程为 .因为直线 的倾斜
6、角为 ,所(10)1x120以 ,又 ,所以 .因为 ,所以06AFOtan()Ay 23AlP,代入 ,得 ,所以 . 23Pyx42 (1)4F10 （北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）以双曲线296xy的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _.【答案】 2(5)16xy【解析】双曲线的渐近线为 43x，不妨取 43yx，即 0y。双曲线的右焦点为 (5,0)，圆心到直线 0y的距离为 25d，即圆的半径为 4，所以所求圆的标准方程为 2(5)16x。11.（北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）以 yx为渐近线且经过点(2,0)的双
7、曲线方程为_.【答案】214xy【解析】因为双曲线经过点 (,0)，所以双曲线的焦点在 x轴，且 2a，又双曲线的渐近线为 yx，所以双曲线为等轴双曲线，即 2ba，所以双曲线的方程为214xy。 12.（北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知定点 A的坐标为 (,)，点 F 是双曲线214xy的左焦点，点 P是双曲线右支上的动点，则 PFA的最小值为 【答案】9【解析】由双曲线的方程可知 2a，设右焦点为 1F，则 (4,0)。 124PFa，即 14PF，所以 11PFAPA，当且仅当 ,A三点共线时取等号，此 时 21(4)5，所以 19，即A的最小值为 9.三
8、、解答题15.（北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）在平面直角坐标系 xOy中，动点 P到两点 (30)， ， ()， 的距离之和等于 4，设点 P的轨迹为曲线 C， 直线 l过点 1,E且与曲线 C交于 A， B两点（）求曲线 的轨迹方程；（）是否存在 O面积的最大值，若存在，求出 AOB的面积；若不存在，说明理由.【答案】 （）由椭圆定义可知，点 P的轨迹 C 是以 (30)， ， ()， 为焦点，长半轴长为 2 的椭圆 3 分故曲线 C的方程为214xy 5 分（）存在 AOB面积的最大值 . 6 分因为直线 l过点 (,0)E，可设直线 l的方程为 1xmy或 0
9、（舍） 则21,4.xym整理得 2()30y7 分由 21(4)设 12()AxyB分 解得 2134my， 2234my则 221| 因为 12AOBSEy222343m 10 分设 1()gt， t， t则 在区间 ,)上为增函数所以 43()gt所以 2AOBS，当且仅当 0m时取等号，即 max3()2AOBS所以 AB的最大值为 313分17.（北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，已知抛物线 24yx的焦点为 F过点 (2,0)P的直线交抛物线于 1(,)Axy，2(,)Bxy两点，直线 A， BF分别与抛物线交于点 M， N（）求 12的值；（）记直线
10、 MN的斜率为 1k，直线 的斜率为 2k.证明： 12为定值【答案】 （）解：依题意，设直线 AB的方程为 xmy 1 分将其代入 24yx，消去 ，整理得 2480y 4 分从而 128 5 分（）证明：设 3(,)Mxy， 4(,)Nxy 则 213434112 122 234yk yxy 7 分设直线 AM的方程为 n，将其代入 yx，消去 ，整理得 240y 9 分所以 13 10 分同理可得 24y 11 分故 11212344ky 13 分由（）得 12k，为定值 14 分18 （北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷（解析） ）已知椭圆的上顶点为 ,左焦点为 ,直
11、线 与圆1:2ayxCAFA相切.过点 的直线与椭圆 交于 两点.076:2M21,CQP,(I)求椭 圆 的方程;(II)当 的面积达到最大时,求直线的方程.APQ【答案】(I)将圆 的一般方程 化为标准方程07262yx,则圆 的圆心 ,半径 .由31322yxM133r得直线 的方程为 . 0,acFAAFcyx由直线 与圆 相切,得 , 312c所以 或 (舍去 ). 2c当 时, , 来源:学科网 ZXXK312ca故椭圆 的方程为 C2yx(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为 , k则直线的方程为 . 21kx因为点 在椭圆内, 0所以对任意 ,直线都与椭圆 交于不同
12、的两点. RkC由 得 . 132yx04932kx设点 的坐标分别为 ,则 QP, 21,y, 2212121 349,3, kxkxkxykxy 所以 1212yP41xxk. 23又因为点 到直线 的距离 , 1,0A21kxy123kd所以 的面积为 PQ2349PQS设 ,则 且 , 231kt10t12tk. 3424934949 ttS因为 , 0所以当 时, 的面积 达到最大, 1tAPQS此时 ,即 . 132k0故当 的面积达到最大时,直 线的方程为 APQ21y19.（北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知椭圆的中心在原点 O，短半轴的端点到其右
13、焦点 2,0F的距离为 10，过焦点 F 作直线，交椭圆于 ,AB两点（）求这个椭圆的标准方程；（）若椭圆上有一点 C，使四边形 AOBC恰好为平行四边形，求直线的斜率【答案】 （）由已知，可设椭圆方程为 210xyab， 1 分则 10a， 2c 2 分所以 1046b， 3 分所以椭圆方程为2xy 4 分（）若直线 l轴，则平行四边形 AOBC 中，点 C 与点 O 关于直线对称，此时点 C坐标为 2,0c因为 ca ，所以点 C 在椭圆外，所以直线与 x轴不垂直 6 分于是，设直线的方程为 2ykx，点 1,Axy， 2,By， 7 分则 21,06xyk整理得， 22235030k 8 分21235x， 9 分所以 122ky 10 分因为 四边形 AOBC为平行四边形，所以 ， 11 分所以 点 的坐
