《2014届步步高大一轮复习讲义8.8》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届步步高大一轮复习讲义8.8（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.8立体几何中的向量方法()求空间角、距离2014 高考会这样考 1.考查用向量方法求空间角的大小；2.考查简单的空间距离的计算( 点面距是重点)复习备考要这样做 1.掌握空间角的定义、范围，掌握求空间角的向量方法；2.会利用向量方法对距离进行转化1空间向量与空间角的关系(1)设异面直线 l1，l 2 的方向向量分别为 m1，m 2，则 l1 与 l2 所成的角 满足 cos |cos m 1，m2|.(2)设直线 l 的方向向量和平面 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 所成角 满足 sin |cos m，n|.(3)求平面间夹角的大小如图所示，平面 1 与 2 相交于直线 l，点
2、 R 为直线 l 上任意一点，过点 R，在平面 1上作直线 l1l，在平面 2 上作直线 l2l ，则 l1l 2R.我们把直线 l1 和 l2 的夹角叫作平面 1 与 2 的夹角已知平面 1 和 2 的法向量分别为 n1和 n2.当 0n 1，n 2 时，平面 1 与 2 的夹角等于n 1，n 2 ；2当 0)，则 D(0，m,0)，E .(12，m2，0)可得 ， (m， 1,0)PE (12，m2， n) BC 因为 00，所以 PEBC.PE BC m2 m2(2)解由已知条件可得 m ，n1，33故 C ，D ，E ，P(0,0,1)设 n(x，y，z)为平面 PEH 的法( 33，
3、0，0) (0， 33，0) (12， 36，0)向量，则Error! 即Error!因此可以取 n(1， ，0)又 (1,0，1)，3 PA 所以|cos ，n| .PA 24所以直线 PA 与平面 PEH 夹角的正弦值为 .24探究提高利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角) ；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面的夹角已知三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABAC ，PAAC AB，N 为12AB 上一点，且 AB4AN，M ，S 分别为 PB，B
4、C 的中点(1)证明：CMSN ；(2)求 SN 与平面 CMN 夹角的大小(1)证明设 PA1，以 A 为原点，AB， AC，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0， )，N( ，0,0)，S(1，0)12 12 12所以 (1，1， )， ( ， ，0)CM 12 SN 12 12因为 00，CM SN 12 12所以 CMSN.(2)解设平面 CMN 的法向量为 n(x，y， z)，则Error! .y x，zx，取 x2，12则 n(2,1 ，2)为平面 CMN 的一个法向量cosn
5、SN nSN |n|SN | .2，1， 2( 12， 12，0)22 1 22 ( 12)2 ( 12)2 02 22n 135，SN 故 SN 与平面 CMN 夹角的大小为 45.题型三求平面间的夹角例 3 (2012广东)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面ABCD，点 E 在线段 PC 上，PC 平面 BDE.(1)证明：BD 平面 PAC；(2)若 PA1，AD2，求平面 BPC 与平面 PCA 夹角的正切值思维启迪：利用图中的 PA平面 ABCD、ABCD 为矩形的条件建立空间直角坐标系，转化为向量问题(1)证明PA平面 ABCD，BD平面 ABCD
6、，PABD .同理由 PC平面 BDE 可证得 PCBD.又 PAPCP， BD 平面 PAC.(2)解如图，分别以射线 AB，AD，AP 为 x 轴， y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系由(1)知 BD平面 PAC，又 AC平面 PAC，BDAC.故矩形 ABCD 为正方形，ABBC CDAD2.A(0,0,0) ，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1) (2,0 ， 1)， (0,2,0)， ( 2,2,0)PB BC BD 设平面 PBC 的一个法向量为 n(x， y，z)，则Error! 即Error!Error! 取 x1 得 n(1,0,2)B
7、D平面 PAC， (2,2,0) 为平面 PAC 的一个法向量BD cos n， .BD nBD |n|BD | 1010设平面 BPC 与平面 PCA 夹角为 ，cos ，sin .1010 1 cos2 31010tan 3，sin cos 即平面 BPC 与平面 PCA 夹角的正切值为 3.探究提高求平面间的夹角最常用的方法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到所求角的大小，但要注意平面间的夹角的范围为 .0，2(2011辽宁) 如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面ABCD，PD QA，QAAB PD.12(1)证明：平面 PQC平面 DCQ；(2)求平面
8、 QBP 与平面 BPC 的夹角的余弦值(1)证明如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长 ，以 DA、DP、DC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐 标系依题意有 Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则 (1,1,0) ， (0,0,1)，DQ DC (1，1,0)PQ 所以 0， 0，PQ DQ PQ DC 即 PQDQ ，PQDC.又 DQDCD，所以 PQ平面 DCQ.又 PQ平面 PQC，所以平面 PQC平面 DCQ.(2)解依题意有 B(1,0,1)， (1,0,0) ， (1,2， 1)CB BP 设 n(x，y，z)是平面 PBC 的法
9、向量，则Error! 即Error!因此可取 n(0，1，2)同理，设 m 是平面 PBQ 的法向量， 则Error!可取 m(1,1,1)所以 cosm，n .155故平面 QBP 与平面 BCP 的夹角的余弦值为 .155题型四求空间距离例 4 在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC，SASC 2 ，M、N 分别为 AB、 SB 的中点，如图所示. 3求点 B 到平面 CMN 的距离思维启迪：由平面 SAC平面 ABC，SASC， BABC ，可知本题可以取 AC 中点 O 为坐标原点，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴， y 轴， z
10、 轴建立空 间直角坐标系，用向量法求解解取 AC 的中点 O，连接 OS、OB.SASC ，ABBC ，ACSO，ACBO. 平面 SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABCAC，SO平面 ABC，又BO 平面 ABC，SOBO.如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴 ，建立空 间直角坐标系 Oxyz，则 B(0,2 ，0)，C(2,0,0) ，S(0,0,2 )，3 2M(1， ，0)，N(0， ， )3 3 2 (3， ，0)， (1,0 ， )， (1， ，0)CM 3 MN 2 MB 3设 n(x，y，z)为 平面 CMN 的一个法向量，则Erro
11、r! ，取 z1，则 x ，y ，n( ， ，1)2 6 2 6点 B 到平面 CMN 的距离 d .|nMB |n| 423探究提高点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法如本题，事实上，作 BH平面 CMN 于 H.由 及 nn ，BH BM MH BH BM | n|n | |n|，BH BM BH | | ，即 d .BH |nBM |n| |nBM |n|(2012大纲全国)已知正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，AB2，CC 12 ，E2为 CC1 的中点，则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 ()A2 B. C. D13 2答案D解析以 D 为原
12、点，DA、DC、DD 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2 )，E(0,2， )，易知 AC1平面2 2BDE.设 n(x，y，z)是平面 BDE 的法向量则Error! .取 y1，则 n(1,1， )为平面 BDE 的一个法向量2又 (2,0,0)，DA 点 A 到平面 BDE 的距离是d 1.|nDA |n| 12 0 0| 12 12 22故直线 AC1 到平面 BED 的距离为 1.利用空间向量求角典例：(12 分) 如图，已知在长方体 ABCDA1B1C1D
13、1 中， AB2，AA 11，直线 BD 与平面AA1B1B 所成的角为 30，AE 垂直 BD 于点 E，F 为 A1B1 的中点(1)求异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值；(2)求平面 BDF 与平面 AA1B 夹角的余弦值. 审题视角(1)研究的几何体为长方体，AB2， AA11.(2)所求的是异面直线所成的角和平面间的夹角(3)可考虑用空间向量法求解规范解答解(1)以 A 为坐标原点，以 AB，AD，AA1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)2 分由于 AB2，BD 与平面 AA1B1B 的夹角为 30，即ABD30，AD ，3 分233A(0,
14、0,0) ，B(2,0,0)，D ，F(1,0,1)(0，233，0)又 AEBD ，故由平面几何知识得 AE1，从而 E ，4 分(12，32，0)因为 ， (1,0,1)，AE (12，32，0) BF (1,0,1) ，AE BF (12，32，0) 12| |1 ，| | ，6 分AE BF 2设 AE 与 BF 所成角为 1，则 cos 1 .8 分|AE BF |AE |BF | | 12|12 24故异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为 .24(2)设平面 BDF 的法向量为 n( x，y，z)，由Error! ，得Error!zx，y x，取 x1，得 n(1， ，1)10 分3 3求得平面 AA1B 的一个法向量为m .AD (0，233，0)设平面 BDF 与平面 AA1B 的夹 角的大小为 2.则 cos 2|cosm，n |mn|m|n| .12 分|0 2 0|233 5 155利用向量求空间角的步骤：第一步：建立空间直角坐标系第二步：确定点
