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1、 . .经典难题(一)1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CDAB,EFAB,EGCO求证:CDGF(初二)AFGCEBODAPCDB第1题图第2题图2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,PADPDA150 求证:PBC是正三角形(初二)3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证:四边形A2B2C2D2是正方形(初二)D2C2B2A2D1C1B1CBDAA1ANFECDMB第3题图第4题图4、已知:如图,在四边形ABCD中,ADBC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、
2、F求证:DENF经典难题(二)1、已知:ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OMBC于M(1)求证:AH2OM;(2)若BAC600,求证:AHAO(初二)ADHEMCBOGAODBECQPNM第1题图第2题图2、设MN是圆O外一直线,过O作OAMN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q求证:APAQ(初二)3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q求证:APAQ(初二)OQPBDECNMAPCGFBQADE第3题图第4题图4、如图,分别以
3、ABC的AC和BC为一边,在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点求证:点P到边AB的距离等于AB的一半(初二)经典难题(三)1、如图,四边形ABCD为正方形,DEAC,AEAC,AE与CD相交于F求证:CECF(初二)AFDECBEDACBF第1题图第2题图2、如图,四边形ABCD为正方形,DEAC,且CECA,直线EC交DA延长线于F求证:AEAF(初二)3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PFAP,CF平分DCE求证:PAPF(初二)DFEPCBAODBFAECP第3题图第4题图4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线P
4、O相交于B、D求证:ABDC,BCAD(初三)经典难题(四)1、已知:ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA3,PB4,PC5求:APB的度数(初二)APCBPADCB第1题图第2题图2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且PBAPDA求证:PABPCB(初二)3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:ABCDADBCACBD(初三)CBDAFPDECBA第3题图第4题图4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且AECF求证:DPADPC(初二)经典难题(五)1、设P是边长为1的正ABC内任一点,LPAPBPC,求证:L2APCBACBPD第1题图第2题
5、图2、P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PAPBPC的最小值EDCBA3、P为正方形ABCD内的一点,并且PAa,PB2a,PC3a,求正方形的边长ACBPD第3题图第4题图4、如图,ABC中,ABCACB800,D、E分别是AB、AC上的点,DCA300,EBA200,求BED的度数经典难题(一)1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CDAB,EFAB,EGCO求证:CDGF。(初二)证一:连接OE。EGCO ,EFAB,O、G、E、F四点共圆,且OE为直径。GF=OEsinGOF。又OCD中,CD=OCsinCOD。GOF+COD=180, OC= OE为O半径,CDG
6、F。证二:连接OE,过G作GHAB于H。EGCO ,EFAB,O、G、E、F四点共圆,且OE为直径。GEO=HFG。又EGO=FHG=Rt,GEOHFG。GF:OE=GH:OG。又GHCD,GH:CD=OG:OC,即GH:OG=CD:OC,GF:OE=CD:OC,而OE=OC,CDGF。AFGCEBODHHAFGCEBOD2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,PADPDA150求证:PBC是正三角形(初二)APCDBE证明:3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证:四边形A2B2C2D2是正方形(初二)D2
7、C2B2A2D1C1B1CBDAA14、已知:如图,在四边形ABCD中,ADBC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F求证:DENFANFECDMB经典难题(二)1、已知:ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OMBC于M(1)求证:AH2OM;(2)若BAC600,求证:AHAO(初二)ADHEMCBO2、设MN是圆O外一直线,过O作OAMN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q求证:APAQ(初二)GAODBECQPNM3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:设MN是圆O的弦,过MN的中点A
8、任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q求证:APAQ(初二)OQPBDECNMA4、如图,分别以ABC的AC和BC为一边,在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点求证:点P到边AB的距离等于AB的一半(初二)PCGFBQADE经典难题(三)1、如图,四边形ABCD为正方形,DEAC,AEAC,AE与CD相交于F求证:CECF(初二)AFDECB2、如图,四边形ABCD为正方形,DEAC,且CECA,直线EC交DA延长线于F求证:AEAF(初二)EDACBF3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PFAP,CF平分DCED求证:PAPF(初二)FEPCBA
9、4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D求证:ABDC,BCAD(初三)ODBFAECP经典难题(四)1、已知:ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA3,PB4,PC5求:APB的度数(初二)APCB2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且PBAPDA求证:PABPCB(初二)PADCB3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:ABCDADBCACBD(初三)CBDA4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且AECF求证:DPADPC(初二)FPDECBA经典难题(五)1、设P是边长为1的正ABC内任一
10、点,LPAPBPC,求证:L2APCB2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PAPBPC的最小值ACBPD3、P为正方形ABCD内的一点,并且PAa,PB2a,PC3a,求正方形的边长ACBPD4、如图,ABC中,ABCACB800,D、E分别是AB、AC上的点,DCA300,EBA200,求BED的度数EDCBA经典难题(一)1.如下图做GHAB,连接EO。由于GOFE四点共圆,所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又CO=EO,所以CD=GF得证。2. 如下图做DGC使与ADP全等,可得PDG为等边,从而可得DGCAPDCGP,得出PC=AD=DC,和DCG=PCG150所
11、以DCP=300 ,从而得出PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点,连接EB2并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交A2Q于G点,由A2E=A1B1=B1C1= FB2 ,EB2=AB=BC=FC1 ,又GFQ+Q=900和GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ又B2FC2=A2EB2 ,可得B2FC2A2EB2 ,所以A2B2=B2C2 , 又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2 ,从而可得A2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等,从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。4.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得QMF=F,QNM=DEN和QMN=QNM,从而得出DENF。经典难题(二)1.(1)延长AD到F连BF,做OGAF,又F=ACB=BHD,可得BH=BF,从而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB,OC,既得