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1、第十三章 全等三角形13.2 三角形全等的条件目标导航1、探索并掌握两个三角形全等的条件:“SSS”“ASA”“AAS”,并能应用它们判别两个三角形是否全等。2、探索出直角三角形全等的条件HL,并掌握,能进行简单的应用。 3、经历作图、比较、证明等探究过程,提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力;并通过对知识方法的总结,培养反思的习惯,培养理性思维。名师引领1.三角形全等的判定有哪些方法?三角形全等的判定方法有:边边边公理:三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”;边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”;角边角公理:两角和它们
2、的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”;角角边推论:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”。2.直角三角形全等的条件是什么?一般三角形全等的判断方法都适用于直角三角形全等的判定,此外,直角三角形全等的条件还有“斜边直角边公理”:有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或“HL”。师生互动 共解难题例1、已知:在ABC中,AD为BC边上的中线,CEAD,BFAD。求证:CE=BF分析:将CE与BF放在CED与BFD中,证明这两个三角形全等,问题便可解决,而全等条件经过已知的转化是可以得到的。证明:CEAD,BF
3、ADCED=BFD=90(垂直定义)D为BC中点BD=DC(线段中点定义)在DEC与DFB中DECDFB(AAS)CE=BF(全等三角形对应边相等)例2已知:如图,点B、E、C、F在同一直线上,AB=DE、AC=DF、BE=CF。求证:ABCDEF。分析:已知中给的条件均为线段,由此可以考虑从边边边公理证明,这里又需用到等量公理。证明:BE=CFBE+EC=EC+CF(等量加等量和相等)在ABC和DEF中ABCDEF(SSS)例3 已知:如图AC=BD,CAB=DBA。求证:CAD=DBC。分析:由已知,再加上一组公共边等,可以得到ABC与BAD全等,由性质得对应角相等,再由等量公理可得证。证
4、明:在ABC和BAD中,ABCBAD(SAS)CBA=DAB(全等三角形对应角相等)又CAB=DBA(已知)CAB-DAB=DBA-CBA(等量减等量差相等)CAD=DBC。积累运用 举一反三同步训练11.选择题:如图1,AB=AD,CB=CD,B=30,BAD=46,则ACD的度数是( )。A.120B.125C.127D.104如图2,线段AD与BC交于点O,且AC=BD,AD=BC,则下面的结论中不正确的是( )。A.ABCBADB.CAB=DBAC.OB=OCD.C=D2.填空题:在ABC和A1B1C1中,已知AB=A1B1,BC=B1C1,则补充条件_,可得到ABCA1B1C1。如图
5、3,AB=CD,BF=DE,E、F是AC上两点,且AE=CF欲证B=D,可先运用等式的性质证明AF=_,再用“SSS”证明_得到结论。3.如图,AB=AC,BD=CD,求证:1=2。4.如图,已知AB=CD,AC=BD,求证:A=D。5.如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF。请推导下列结论:D=B;AECF。6.已知如图,A、E、F、C四点共线,BF=DE,AB=CD.请你添加一个条件,使DECBFA;在的基础上,求证:DEBF。同步训练21.选择题:如图1,ABCD,AB=CD,BE=DF,则图中有多少对全等三角形( )。A.3B.4C.5D.6
6、如图2,AB=AC,AD=AE,欲证ABDACE,可补充条件( )。A.1=2B.B=CC.D=ED.BAE=CAD如图3,AD=BC,要得到ABD和CDB全等,可以添加的条件是( )。A.ABCDB.ADBCC.A=CD.ABC=CDA2.填空题:如图4,AB与CD交于点O,OA=OC,OD=OB,AOD=_,根据_可得到AODCOB,从而可以得到AD=_。如图5,已知ABC中,AB=AC,AD平分BAC,请补充完整过程说明ABDACD的理由。AD平分BAC,_=_(角平分线的定义)。在ABD和ACD中,_,ABDACD( )。3.如图6,已知AB=AD,AC=AE,1=2,求证ADE=B。
7、4.如图,已知AB=AD,若AC平分BAD,问AC是否平分BCD?为什么?5.如图,在ABC和DEF中,B、E、F、C,在同一直线上,下面有4个条件,请你在其中选3个作为题设,余下的一个作为结论,写一个真命题,并加以证明。AB=DE; AC=DF; ABC=DEF; BE=CF。6.如图,ABBD,DEBD,点C是BD上一点,且BC=DE,CD=AB。试判断AC与CE的位置关系,并说明理由。如图,若把CDE沿直线BD向左平移,使CDE的顶点C与B重合,此时第问中AC与BE的位置关系还成立吗?(注意字母的变化)。同步训练31.选择题:已知AB=,A=,B=,则ABC的根据是( )。A.SASB.
8、SSAC.ASAD.AASABC和DEF中,AB=DE,B=E,要使ABCDEF,则下列补充的条件中错误的是( )。A.AC=DFB.BC=EFC.A=DD.C=F如图1,AD平分BAC,AB=AC,则图中全等三角形的对数是( )。A.2B.3C.4D.52.填空题:如图2,已知ABCD,欲证明AOBCOD,可补充条件_。(填写一个适合的条件即可)。如图3,ABAC,BDCD,1=2,欲得到BE=CE,可先利用_,证明ABCDCB,得到_=_,再根据_证明_,即可得到BE=CE。如图4:已知ABC中,AB=AC,BAC=90,直角EPF的顶点P是BC中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,
9、F,给出以下五个结论:AE=CF;APE=CPF;EPF是等腰直角三角形;EF=AP;。当EPF在ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),上述结论中始终正确的序号有_。3.如图5,AC=AE,C=E,1=2,求证ABCADE。4.已知:如图,ABCD,DF交AC于E,交AB于F,DE=EF.求证:AE=EC。5.如图,已知BD=CE,1=2,那么AB=AC,你知道这是为什么吗?6.已知如图,CEAB于点E,BDAC于点D,BD、CE交于点O,且AO平分BAC,图中有多少对全等的三角形?请你一一列举出来。(不要求说明理由)小明说:欲证BE=CD,可先证明AOEAOD得到AE=AD,再证明A
10、DBAEC得到AB=AC,然后利用等式的性质即可得到BE=CD,请问他的说法正确吗?如果不正确,请说明理由;如果正确,请按他的思路写出推导过程。要得到BE=CD,你还有其他的思路吗?若有,请仿照小明的说法具体说一说你的想法。7.我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等,那么在什么情况下,它们会全等?阅读与证明:对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等。对于这两个三角形均为钝角三角形,可证明它们全等(证明略)对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下:已知:ABC、均为锐角三角形,AB=,BC=,C=。证明:ABC。(请你将下列证明过程补充完整)证明:分别
11、过点B、,作BDCA于D,于,则BDC=90。BC=,C=。BCD,BD=。归纳与叙述:由可得到一个正确结论,请你写出这个结论。同步训练41.选择题:如图,已知MB=ND,MBA=NDC,下列添加的条件中,哪一个不能用于判定ABMCDN的是( )。A.M=NB.AB=CDC.AM=CND.AMCN下列说法正确的是( )。A.面积相等的两个直角三角形全等B.周长相等的两个直角三角形全等C.斜边相等的两个直角三角形全等D.有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等如图已知AB=CD,AEBD于E,CFBD于F,AE=CF,则图中全等的三角形有( )。A.1对B.2对C.3对D.4对2.填空
12、题:如图,在RtABC中,BAC=90,DEBC,BE=EC,AC=6,AB=10,则ADC的周长是 。如图,AB=CD,AEBC于E,DFBC于F,若BE=CF,则ABE ,其依据是 。3.如图,AEBC,DFBC,E,F是垂足,且AE=DF,AB=DC,求证:ABC=DCB。4.如图,AB=CD,AEBC,DFBC,垂足分别为E,F,CE=BF。求证:ABCD5.如图,在ABC中,B=C,D是BC中点,DEAB,DFAC,E,F为垂足,求证:AD平分BAC。6.如图,已知ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是( )。A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙答案:
13、同步训练11.C;C。2.AC=A1C1;CE,ABFCDE。3.证明ABEACE。4.连接BC,证明ABCDCB。5.证明ADECBF;证明AEF=CFE。6.可添加AE=CF或添加AF=CE,证明DECBFA;由得BFA=DEC,DEBF。同步训练21.A;A;B。2.COB,SAS,CB;BAD,CAD,AB=AC,BAD=CAD,AD=AD,SAS。3.证ABCADE。4.平分,证ABCADC。5.答案不惟一,有两种选法:由得;由得,证明略6.ACCE,证ABCCDE;结论仍成立。同步训练31.C;A;B。2.AB=CD或OA=0C或OB=OD;AAS,AB,DC,AAS,ABE,DCE;3.1=2,BAC=DAE