近世代数第四章环与域题解讲解

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1、第四章第四章 环与域环与域 1 环的定义环的定义 一、主要内容一、主要内容 1环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多 项式环、n 阶全阵环和线性变换环，以及集 M 的幂集环 2环中元素的运算规则和环的非空子集 S 作成子环的充要条件： 二、释疑解难二、释疑解难 1设 R 是一个关于 代数运算十，作成的环应注意两个代数运算的地位是不平等的， 是要讲究次序的所以有时把这个环记为(R，十，)(或者就直接说“R 对十，作成一个环”)但不能记为 R， ，十)因为这涉及对两个代数 运算所要求满足条件的不同我们知道，环的代数运算符号只是一种 记号如果集合只有二代数运算记为 ，又R对 作成一个

2、交换群， 对满足结合律且对 满足左、右分配律，即 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序 2设 R 对二代数运算十，作成一个环那么，R 对“十”作成一个 加群，这个加群记为(R,十)；又 R 对“ ”作成一个半群，这个乍群记为 (R，)再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十) 三、习题三、习题 4 1 解答解答 1 2 3 4 5 6 7 8证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环 4 2 环的零因子和特征环的零因子和特征 一、主要内容一、主要内容 环的左、右零因子和特征的定义与例子 2若环 R 无零因子且阶大于 1，则 R 中所有非零元素对加法 有相同的阶而且这个相同的阶不是

3、无限就是一个素数 这就是说，阶大于 l 且无零因子的环的特征不是无限就是一 个素数 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶 3整环(无零因子的交换环)的定义和例子 二、释疑解难二、释疑解难 由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子， 则 R 也必然有右零因子反之亦然 但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是 一个右零因子例如，教材例 l 中的元素就是一个例子反之， 一 00 01 个右零因子也不一定是一个左零因子例如，设置为由一切方阵 ),( 00 Qyx yx 对方阵普通加法与乘法作成的环则易知是 R 的一个右零 00 01 因子，但它却不是 R 的左零因子 2.关于

4、零因子的定义 关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环 中的零元也算作零因子本教材不把零元算作零因子，而有的书也把 零元算作零因子但把非牢的零因子称做真零因子这种不算太大的 差异，读者看参考书时请留意 3关于整环的定义 整环的定义在不同的书中也常有差异大致有以下 4 种定义方法： 定义 1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法) 定义 2 阶大于 l 且无零因子的交换环，称为整环 定义 3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环 定义 4 阶大于 1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环 以上 4 种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在 于是否要求有单位元和

5、阶大于 1不同的定义方法各有利弊，不宜绝 对肯定哪种定义方法好或不好这种情况也许到某个时期会得到统 一但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异 本教材采用定义 1 的方法也有很多原因，现举一例。本章8 定理 1：设 P 是交换环 R 的一个理想则 P 是 R 的素理想RP 是整环 这样看起来本定理表述显得干净利索但若整环按定义 2(或定 义 3、4)要求，那么以上定理表述就需变动究竟要怎样变动，作为练 习请读者自己给出 。 三、习题三、习题 4 2 解答解答 设 R 是一个无零因子的环证明：若偶数，则 R 的特征必为R 2 证明：P环无非零幂零元 4.3 除环和域除环和域 一、主要内容一、主

6、要内容 1除环和域的定义及例子四元数除环 2有限环若有非零元素不是零因子，则必有单位元，且每个非零 又非零因子的元素都是可逆元 3有单位元环的乘群(单位群)的定义和例子 有单位元的环的全体可逆元作成的群，称为该环的乘群或单 位群 除环或域的乘群为其全体非零元作成的群；整数环 Z 的乘群为 Z，； 数域上 n 阶全阵环的乘群为全体 n 阶可逆方阵对乘法作成的群； Gaus s 整环的乘群为 U(Zi) ，ii， 二、释疑解难二、释疑解难 1阶大于 l 的有限环可分为两类： ” 1) 一类是有零因子的有限环例如，有限集M(1)上的幂集M 环P(M)，不仅是个有零因子的有限环，而且除单位元M外其余每

7、个非 零元素都是零因子；后面所讲的以合数 n 为模的剩余类环 Zn 也是 一个有零因子的有限环 2) 另一类就是无零因子的有限环实际上根据本节推论和魏得 邦定理可知，这种有限环就是有限域例如，以素数 p 为模的剩余类 环 Zp以及教材第六章所介绍的伽罗瓦域都属于这种倩形 这就是说，阶大子 1 的有限环或者有零因子或者无零因子，从而 为域 与群定义中要求两个方程axb与yab都有解不同,这里仅要求 方程axb或y ab (0a,bR)中有一个在R中有解即可教材中利 用方程axb有解得到R的全体非零元有右单位元且每个非零元素都 有右逆元，从而得到 R 是除环 如果利用方程 yab 在 R 中有解，

8、则将得到 R 的全体非零元有左 单位元且每个非零元都有左逆元，从而也得到只是除环 3关于有单位元环的单位群 设 R 是阶大于 l 的有单位元的环则显然 R 是除环R 的单位群是 R； R 是域 R是交换群 显然，除环或域有“最大的单位群又显然幂集环 P(M)的单位群 只有单位元(因其他元素那是零因子)，它是“最小”的单位群 三、习题三、习题 4 3 解答解答 1证略 2证略 3证明：域和其子域有相同的单位元 即 F 与 F1有相同的单位元(也可由 F与有相同单位元直接 1 F 得出) 4 5 6 4 环的同态与同构环的同态与同构 一、主要内容一、主要内容 1环的同态映射和同构映射的定义和例子

9、2环同态映射的简单性质 设 是环 R 到环豆的同态满射，则R 1) (0)是的零元， (a) (a) (aR) ；R 2)当 R 是交换环时，也是交换环；R 3)当 R 有单位元时，也有 ；并且 R 的单位元的象是的单位RR 元 3在环同态映射下，是否有零因子不会传递即若环 R，R 则当 R 有零因子时，可能没有，当 R 无零因子时，却可能有RR 二、释疑解难二、释疑解难 1在1 已经强调过，对于环的两个代数运算一定要区分前后顺 序同样，对于环的同态映射，也要注意其保持运算必须是：加法对加 法，乘法对乘法即 (ab) (a) (b)， (ab) (a) (b) 第一式中等号左边的加号“”是环

10、R 的加法，而等号右边的加号 “”是环 R 的代数运算二者虽然都用同一符号，但在实际例子中这 两个代数运算却可能点很大差异，根本不是一回事 对上述第二个式子中等号两端的乘法完全类似，不再赘述 2由于零因子在环同态映射下不具有传递性，因此，若环 R，则当 R 为整环时，不一定是整环；又当 R 不是整环时，却可RRR 能是整环教材中的例 1 和例 2 说明了这一点 3关于环的挖补定理， 三、习题三、习题 4 4 解答解答 1. 证 略 2. 3. 4. 5. 6. 7. 4 5 模模 n 剩余类环剩余类环 一、主要内容一、主要内容 2循环环定义、例子和简单性质 1) 整数环及其子环以及剩余类环及其

11、子环都是循环环而且在 同构意义下这也是全部的循环环 2) 循环环是交换环，但不一定有单位元而且这种环的子加群同 子环、理想三者是一回事因此，n 阶循环环有且只有 T(n)(n 的正因数 个数)个子环(理想) 二、释疑解难二、释疑解难 1剩余类环是一类很重要的有限环，因为这种环是一种具体的 环，特别是它的特征、子环(理想)、零因子、可逆元和单位群等都很清 楚因此，在环的讨论里常常以它作为例子来加以利用，并说明问题 2整数环的任二不同的非零子环，作为加群，它们显然是同构的 (因为它们都是无限循环群)但是，作为环，它们并不同构因为，例 如设 因此，与不能同构ST 3剩余类环 Zn中任二不同的子环也不

12、能同构 事实上，Zn的任二不同阶的子环当然不能同构又设置为 Zn的任 意 k 阶子环，则 k但由于(Zn，)是 n 阶循环群，从而对 n 的每个正n 因数 k，(Zn，)有且只有一个 k 阶子群，于是环 Zn有且仅有一个 k 阶 子环因此，Zn的任二不同的于环当然不同构 4但是，有有限环存在，其有二不同子环是同构的例如：令 R 是 Z2上的 2 阶全阵环，则16，且易知R 都是 R 的 4 阶子环，而且易知 R1还是一个域但是，R2无单位元 (且不可换，又非零元都是零因子)，因此，R1与 R2不能同构 此外易知： 也都是环 R 的 4 阶子环，而且 R1，R2，R3，R4都是互不同构的对 此不

13、再详述，兹留给读者作为练习 有文献已经证明，互不同构的 4 阶环共有 11 个对此不再赘述 三、习题三、习题 4 5 解答解答 1.证明：同余类的乘法是 Zn的一个代数运算 2. 试指出环 Z8中的可逆元和零因子，再给出它的所有子环 3. 试给出 Z10的所有子环，并指出它们各自的特征 4. 5. 6. 7. 证明：整数环的不同子环不同构，证：见上面“释疑解难”部分 中的 2 8. 6 理理 想想 一、主要内容一、主要内容 1左、右理想、理想的定义和例子 2单环的定义以及单环的一个重要性质 设环 R 有单位元，则 R 上全阵环 Rnn的理想都是 R 中某个理想上 的全阵环由此可知： Rnn是单

14、环R 是单环 特别，除环和域上的全阵环都是单环 3由环中元素山 a，a，am生成的理想a，a， am特别，由一个元素 a 生成的主理想a 在一般情况下，主理想 a中元素的表达形式在特殊环(交换 环和有单位元的环)中a的元素表达形式如下： 1) 在有单位元的环 R 中： 4理想的和与积仍为理想 二、释疑解难二、释疑解难 1关于理想的乘法 我们知道，如果 A，B 是群 G 的二子集或(正规)子群，则 A 与 B 的乘积是如下规定的： ABabA,，bBa 但当 A，B 是环 R 的理想时，如果仍按以上规定相乘，则一般而言 其乘积 AB 不再是理想由于这个原因，环中理想的乘法规定为 AB有限和 iA

15、,，biB iib aa 2对任意环 R，则 R 至少有平凡理想和 R通常把 R 本身叫 做 R 的单位理想，这是由于以下原因：对 R 的任意理想 N，显然都有 RNN， NRN 但当 R 有单位元时，则显然又有 RNN， NRN从而有 RNNRN 这就是说，此时 R 在理想乘法中的作用类似于数 1 在数的乘法中 的作用 3设 R 为任意环，aR则易知 NraRr 是 R 的一个左理想若 R 是交换环，则当然但是应注意， 由于 R 不一定有单位元，故不一定有 aN从而也不能说 N 是由 a 生 成的理想 例例设 R 为偶数环，a4，则 三、习题三、习题 4 6 解答解答 1. 证 略 2. 证

16、 1) 略2) 由于 3. 4. 证 参考上面“释疑解难”部分 3 5. 8. 8证明：4 中例 3 中的环 FN，当 N 为降秩方阵时，不是单环 4.7 商环与环同态基本定理商环与环同态基本定理 一、主要内容一、主要内容 1设 ，则所有(关于加法的)陪集x十N(xR)对于陪集的 加法与乘法 (aN)十(bN)(ab)N，(aN)(bN)abN 作成一个环，称为 R 关于理想 N 的商环，记为 RN 即在同构意义下，任何环能而且只能与其商环同态此称为环同 态基本定理或环的第一同构定理 二、释疑解难二、释疑解难 1环同态基本定理有的书包括：但有的书不包 括这一结论,而只指出： R，N 为核RNRR 也有书称此为“环的第一同态定理”或“环的第一同构定理”甚