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1、2006高数竞赛试卷(答案),2006. 6,一、填空题（本题40分）,1.,当x时，是比,解：,高阶的无穷小,则常数 的取值范围（ ）,所以，0,0,2. 设函数f(x)在-1,1上有定义，且满足：sinxf(x)x2+x,解：因为sinxf(x)x2+xf(0)=0,则f(0)=( ),当x0时，,当x0时，,所以，,3. 平面,解：,法向量：,在(2,-3)处的单位内法线向量( ),内法向量：,4. 已知方程x4-4x3+4x2+c=0 有四个不等实根， 则c的取值范围,解：令 f(x)=x4-4x3+4x2+c,f(x)=4x3-12x2+8x =4x(x-1)(x-2)=0,令 f(
2、x)=0 x=0, x=1, x=2,x=0, x=2是极小值点， x=1是极大值点,极小值f(0)= f(2)= c，极大值 f(1)= c+1，,当-1c0方程x4-4x3+4x2+c=0有四个不等实根，,5.,解：,6.,解：,7. 已知广义积分,收敛，则，c=( ),解：,所以，c=2,8. 设L是直线,在平面x+y+z=5上的投影直线,则函数,在M(0,0,1)处沿L方向（取与z轴,夹角为锐角）的方向导数为（ ）,解：平面束(x-2z-1)+k(2y-z+4)=0, 即，,x+2ky-(2+k)z+4k-1=0k=1n1=1, 2, -3,n2=1, 1, 1,l= 1, 1, 1
3、1, 2, -3=-5,4,1,9. 设空间区域：x2+y2+z21, n为自然数，则,解：由轮换对称性：,所以，,10. 设力,则质点沿螺线，,所作的功（ ）,从A(a,0,0)到B(a,0,c),解：,二、（本题20分）,计算定积分,解：,三、（本题10分）,设函数f(x)单调可导，且f(1)=2,解：,其反函数为x=g(y)，求,四、（本题10分）,设,解：,则,五、（本题10分）,证明：当ba1时，,证：,只要证：,又,所以，,计算曲面积分,六、（本题10分）,解：交线：,投影域：D: x2+y2x,其中是曲面z=x2+y2,上满足zx的部分的下侧,七、（本题10分）,证明：当x,y,z0时，成立,解：要证,(不用均值不等式),在条件,求,下条件极值,令,又,所以,是全局最大值,
