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1、6.16.26.36.4设有n维随机矢量服从正态分布，各分量的均值为，其协方差矩阵为试求其特征函数。解：n元正态分布的特征函数为 ，则 = =6.5. 设n维正态分布随机矢量各分量的均值为，各分量间的协方差为设有随机变量，求h的特征函数。解：易得：协方差矩阵为： 所以 =由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以的特征函数为：6.6 设有三维正态分布随机矢量，其各分量的均值为零，即 ，其协方差矩阵为其中，试求：（1）（2）（3）解：（1） 由教材页可看出，其中：为零均值的三元正态分布随机变量的特征函数令，则，所以（2）设，则(3) 另一种方法是利用6.7设有三维正态分布的随机矢量=
2、,的概率密度为f(x,x,x)=C(1)证明经过线性变换=A=得矢量=，则是相互统计独立的随机变量。 (2)求C值。解：=x,x,xx,x,xB=,B=,=(1) E=E=0同样可得：E=0，E=0 所以是相互统计独立的随机变量(2) C=6.11 设有零均值平稳实高斯随机过程，其功率谱密度为如果对该过程每隔秒作一次抽样，得到样本值（1） 写出前面n个样本点所取值的n维联合概率密度。（2） 定义随机变量 求概率的表示式，为常数，0。解：（1） 首先由功率谱密度求出自相关函数，参见P345，图5-5结论。是零均值的、平稳实高斯过程均值向量=0，协方差阵由功率谱密度的表达式，我们可以看到，该信号最
3、大频率分量为，而对该过程的采样频率取为2，这样所得样本值为相互统计独立的随机变量，其协方差阵B为对角阵，即 所求的n元正态分布的联合概率密度为=（2） 记=，其中。根据线性变换前后的关系，得，所以，=6.12. 设有图题6-12所示的接收机。h g 或h g|信号存在时，这就是发现概率；，Phg|信号不存在时，这就是虚警概率。解：噪声在所有频率上的功率谱密度都是常数N0/2，由于信号是确知的，所以仍是一个高斯分布的噪声，其均值为0，方差是分布函数为： 当有信号时，输出 仍是一个高斯分布的变量，只是均值为Es发现概率 当无信号时，输出虚警概率 6.13 设有图6-13所示的非线性系统，它的输出、
4、输入关系如图中所示。平方律器件积分（平均）yx图题 6-13如果输入为零均值平稳实高斯过程，其协方差函数为求：（1）输出均值；（2）输出的方差；（3）设，画出u对的关系曲线。解：(1) 输出均值为由于是零均值的，所以于是(2) 输出的方差为其中，且其中，。方法一：直接以u和v为变量进行积分，积分区域下图的(a)所示(a) (b)图题 6-13 积分区域方法二：设，则图示的积分区域(a)变换成积分区域(b)于是，得的方差为（3）设，则u与的函数关系为其曲线如下图所示6.14如上题，如果输入(t)为零均值平稳实高斯过程，其功率谱密度为：S(f)=,() S(f)=0 ,(其他频率范围)(1)试证明E (t)=A；(2)假定(.T)之值很大，求的方差D的近似表示式。
