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1、数列的数学归纳法【知识梳理】归纳法可以分为完全归纳法和不完全归纳法对一个问题的所有情况加以研究，得出它们的共同性质，这种方法称为完全归纳法对一个问题的部分情况加以研究，得出它们的共同性质，这种方法称为不完全归纳法完全归纳法往往是不可能的，而不完全归纳法得出的结论却可能不正确用数学归纳法证明命题分两个步骤：步骤一（奠基步骤）：证明当取第一个值（例如）时命题正确步骤二（递推步骤）：假设当时命题成立，证明当时命题也成立在完成上面两个步骤后，我们就可断定命题对于从开始的所有的正整数都成立数学归纳法的应用：具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.【典型例题分
2、析】例1、试证明：不论正数、是等差数列还是等比数列，当，且a、b、c互不相等时，均有：an+cn2bn.证明：（1）设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q0且q1)an+cn=+bnqn=bn(+qn)2bn（2）设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想()n(n2且nN*)下面用数学归纳法证明：当n=2时，由2(a2+c2)(a+c)2，设n=k时成立，即则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)()k()=()k+1例2、在数列an中，a1=1，当n2时，an,Sn,Sn成等比数列.(1)求a2,a3
3、,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列an所有项的和.解：an,Sn,Sn成等比数列，Sn2=an(Sn)(n2) (*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=由a1=1，a2=,S3=+a3代入(*)式得：a3=同理可得：a4=,由此可推出：an=(2)当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.假设n=k(k2)时，ak=成立故Sk2=(Sk)(2k3)(2k1)Sk2+2Sk1=0Sk= (舍)由Sk+12=ak+1(Sk+1),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk)由知，an=对一切nN成立.(3)由(2)得
4、数列前n项和Sn=,S=Sn=0.【练习】1.已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A.30B.26C.36D.62.(用数学归纳法证明3kn3(n3,nN)第一步应验证( )A.n=1B.n=2C.n=3D.n=43.观察下列式子：则可归纳出_.4.已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_，由此猜想an=_.5.用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中nN*.6.若n为大于1的自然数，求证：.7.已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求数列bn的通项公式bn;(2)
5、设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1)记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.8.设实数q满足|q|1,数列an满足：a1=2,a20,anan+1=qn,求an表达式，又如果S2n3,求q的取值范围.答案:1.C解析：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k2)时，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3
6、k(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2)f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36.2.C解析：由题意知n3，应验证n=3. 3.解析：(nN*)(nN*)、 5.证明：(1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2)42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除当n=k+1时也成立.由知，当nN*时，42n+1
7、+3n+2能被13整除.6.证明：(1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即7.(1)解：设数列bn的公差为d,由题意得,bn=3n2(2)证明：由bn=3n2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+ )而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)(1+)与的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测：(1+1)(1+)(1+) (*)当n=1时，已验证(*)式成立.假设n=k(k1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+)则当n=k+1时，,即当n=k+1时，(*
8、)式成立由知，(*)式对任意正整数n都成立.于是，当a1时，Snlogabn+1,当 0a1时，Snlogabn+18.解：a1a2=q,a1=2,a20,q0,a2=,anan+1=qn,an+1an+2=qn+1两式相除，得,即an+2=qan于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn猜想：a2n+1=qn(n=1,2,3,)综合，猜想通项公式为an=下证：(1)当n=1,2时猜想成立(2)设n=2k1时，a2k1=2qk1则n=2k+1时，由于a2k+1=qa2k1a2k+1=2qk即n=2k1成立.可推知n=2k+1也成立.设n=2k时，a2k=qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=q
9、a2k,所以a2k+2=qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.这样所求通项公式为an=S2n=(a1+a3+a2n1)+(a2+a4+a2n)=2(1+q+q2+qn-1) (q+q2+qn)由于|q|1,=依题意知3,并注意1q0,|q|1解得1q0或0q【课堂总结】(1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归纳法和不完全归纳法两类，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；(4)所涉及的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想。
