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1、数学(八年级上册)知识点总结(北师大版)第一章 勾股定理1、勾股定理-已知直角三角形,得边的关系直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即2、勾股定理的逆定理-由边的关系,判断直角三角形如果三角形的三边长a,b,c有关系,那么这个三角形是直角三角形。3、勾股数:满足的三个正整数a,b,c,称为勾股数。常见的勾股数有:(6,8,10)(3,4,5)(5,12,,13)(9,12,15)(7,24,25)(9,40,41)规律:(1)、短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数,两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且ab时,如果,那么a,b,c就是一组勾股数.如:(3,4,5
2、)(5,12,,13)(7,24,25)(9,40,41)(2)大于2的任意偶数,2n(n1)都可构成一组勾股数分别是: 如:(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)4、常见题型应用:(1)已知任意两条边的长度,求第三边/斜边上的高线/周长/面积(2)已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系,求各边的长度/斜边上的高线/周长/面积(3)判定三角形形状: 锐角三角形,直角三角形,钝角三角形 判定直角三角形a.找最长边;b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系;c.确定形状第二章 实数1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 一、实数的概念及分类 1、实数
3、的分类 2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数,如等根号a(a为非完全平方数或非立方数)。(2)有特定意义的数,如圆周率(=3.),或化简后含有的数,如+8等;(3)有特定结构的数,如0.;0.8885(相邻两个5之间8的个数逐次加1等;(4)某些三角函数值,如sin60o等; 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=b,反之亦成立。2、
4、绝对值在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|0)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a0;若|a|=-a,则a0。3、倒数如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。5、估算. 注意:(1)近似计算时,中间过程要多保留一位;(2)要求记忆: .三、平方根、算数平方根和立方根 1平方根和算术平方根:(1)概念:如果,那么是的平方根,记
5、作:;读作“正、负根号”,其中叫做的算术平方根,读作根号。(2)性质:当0时,0; 当时,无意义; ; 。(区分、)性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。(3)开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。注意 :的双重非负性:2立方根:(1)概念:若,那么是的立方根(或三次方根),记作:; (2)性质:; ; 性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。注意:, 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。区分:平方根、立方根的性质根源:开平方是平方的逆运算;开立方是立方
6、的逆运算。正数和负数的平方后为正,所以,只有非负数才可以开平方,因此一个非0正数开平方后有2个;而任何数的立方后的符号与原数的符号一致,所以,任何数都可以开立方,一个数开立方后只有1个,符号与原数的符号也一致。四、实数大小的比较 1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数大。2、实数大小比较的几种常用方法(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。(2)求差比较:设a、b是实数, (3)求商比较法:设a、b是两正实数,(4)绝对值比较法:设a
7、、b是两负实数,则。(5)平方法: 设 ,则 设 ,则 。 同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。如:比较 与;与(6)倒数法:设 ,则;设 ,则 规律:同号取倒(数)反向五、算术平方根有关计算(二次根式)1、含有二次根号“”; 被开方数必须是非负数,即:。2、性质:(1)非负性(2) (中前提,被开方数)(3)(中隐含被开方数)(4);()(前提根号要有意义)(5) ;()(前提式子和根号要有意义,)拓展:三个重要非负数: .注意:非负数之和为0 它们都是0.3、运算结果若含有“”形式,必须满足:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方
8、的因数或因式六、实数的运算 (1)六种运算:加、减、乘、除、乘方 、开方(2)实数的运算顺序先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。(3)运算律加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 (4)与实数有关的概念: 在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致;在实数范围内,有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数和数轴上的点是一一对应的。因此,数轴正好可以被实数填满。第三章 位置的确定一、 在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。二、平面
9、直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意:x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、
10、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。平面内点的与有序实数对是一一对应的。4、不同位置的点的坐标的特征 (1)、各象限内点的坐标的特征(结合图形,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数在坐标轴的正向为正,负向为负) 点在第一象限点在第二象限 点在第三象限点在第四象限(2)、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上,x为任意实数点P(x,y)在y轴上,y为任意实数点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上
11、x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)即原点(3)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数(4)、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。(5)、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点P与点关于x轴对称(上下)横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点P(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y) 点P与点关于y轴对称(左右)纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点P(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y) 点P
12、与点关于原点对称横、纵坐标均互为相反数,即点P(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y)规律:关于谁对称谁不变,另一个变相反;关于原点对称,两个分别变相反。(6)、点到坐标轴及原点的距离(结合图形理解)点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:(1)点P(x,y)到x轴的距离等于(2)点P(x,y)到y轴的距离等于(3)点P(x,y)到原点的距离等于(由勾股定理可得)三、坐标变化与图形变化的规律:坐标( x , y )的变化 图形的变化 x a或 y a 被横向或纵向拉长(压缩)为原来的 a倍 x a, y a 放大(缩小)为原来的 a倍 x ( -1)或 y ( -1) 关于 y 轴或 x 轴对称
13、 x ( -1), y ( -1) 关于原点成中心对称 或 ,其中沿 x 轴()左(+)右或 y 轴(+)上()下平移 a个单位 , ,其中沿 x 轴()左(+)右平移 a个单位,再沿 y 轴(+)上()下平移 a个单第四章 一次函数一、函数:一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。一般从整式(取全体实数),分式(分母不为0)、二次根式(偶次根式)(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。三、函数的三种表示法及其优缺点(1)关
14、系式(解析)法两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。(2)列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。(3)图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。四、由函数关系式画其图像的一般步骤(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地,若两个变量x,y间的关系可以表示成(k,b为常数,k0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。特别地,当一次函数中的b=0时(即)(k为常数,k0),称y是x的正比例函数。2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:、一次函数的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数的图像是经过原点(0,0)的直线。、由于一次函数的图象是一条直线,所以一次函数的图象也称为直线。、由于两点确定一条直线,因此在画一次函数的图象时,只要描出:与轴的