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1、数学（八年级上册）知识点总结（北师大版）第一章 勾股定理1、勾股定理-已知直角三角形，得边的关系直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即2、勾股定理的逆定理-由边的关系，判断直角三角形如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股数：满足的三个正整数a，b，c，称为勾股数。常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且ab时，如果，那么a,b,c就是一组勾股数.如：（3,4,5
2、）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）（2）大于2的任意偶数，2n(n1)都可构成一组勾股数分别是： 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度/斜边上的高线/周长/面积（3）判定三角形形状： 锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 判定直角三角形a.找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状第二章 实数1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 一、实数的概念及分类 1、实数
3、的分类 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等根号a（a为非完全平方数或非立方数）。（2）有特定意义的数，如圆周率（=3.)，或化简后含有的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.；0.8885(相邻两个5之间8的个数逐次加1等；（4）某些三角函数值，如sin60o等； 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。2、
4、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0。3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算. 注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆： .三、平方根、算数平方根和立方根 1平方根和算术平方根：（1）概念：如果，那么是的平方根，记
5、作：；读作“正、负根号”，其中叫做的算术平方根，读作根号。（2）性质：当0时，0； 当时，无意义； ； 。（区分、）性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（3）开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。注意 ：的双重非负性：2立方根：（1）概念：若，那么是的立方根（或三次方根），记作：； （2）性质：； ； 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：， 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。区分：平方根、立方根的性质根源：开平方是平方的逆运算；开立方是立方
6、的逆运算。正数和负数的平方后为正，所以，只有非负数才可以开平方，因此一个非0正数开平方后有2个；而任何数的立方后的符号与原数的符号一致，所以，任何数都可以开立方，一个数开立方后只有1个，符号与原数的符号也一致。四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数，（4）绝对值比较法：设a
7、、b是两负实数，则。（5）平方法： 设 ，则 设 ，则 。 同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。如：比较 与；与（6）倒数法：设 ，则；设 ，则 规律：同号取倒（数）反向五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“”； 被开方数必须是非负数，即：。2、性质：（1）非负性（2） （中前提，被开方数）（3）（中隐含被开方数）（4）；（）（前提根号要有意义）（5） ；（）（前提式子和根号要有意义，）拓展：三个重要非负数： .注意：非负数之和为0 它们都是0.3、运算结果若含有“”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方
8、的因数或因式六、实数的运算 （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方（2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 （4）与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。第三章 位置的确定一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。二、平面
9、直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、
10、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。平面内点的与有序实数对是一一对应的。4、不同位置的点的坐标的特征 （1）、各象限内点的坐标的特征（结合图形，过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数在坐标轴的正向为正，负向为负） 点在第一象限点在第二象限 点在第三象限点在第四象限（2）、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上
11、x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点（3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。（5）、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点P与点关于x轴对称（上下）横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为（x，-y） 点P与点关于y轴对称（左右）纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y） 点P
12、与点关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为（-x，-y）规律：关于谁对称谁不变，另一个变相反；关于原点对称，两个分别变相反。(6)、点到坐标轴及原点的距离（结合图形理解）点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于（2）点P(x,y)到y轴的距离等于（3）点P(x,y)到原点的距离等于（由勾股定理可得）三、坐标变化与图形变化的规律：坐标（ x ， y ）的变化 图形的变化 x a或 y a 被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a倍 x a， y a 放大（缩小）为原来的 a倍 x （ -1）或 y （ -1） 关于 y 轴或 x 轴对称
13、 x （ -1）， y （ -1） 关于原点成中心对称 或 ，其中沿 x 轴（）左（+）右或 y 轴（+）上（）下平移 a个单位 ， ，其中沿 x 轴（）左（+）右平移 a个单位，再沿 y 轴（+）上（）下平移 a个单第四章 一次函数一、函数：一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（偶次根式）（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。三、函数的三种表示法及其优缺点（1）关
14、系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。四、由函数关系式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：、一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。、由于一次函数的图象是一条直线，所以一次函数的图象也称为直线。、由于两点确定一条直线，因此在画一次函数的图象时，只要描出：与轴的
