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1、三角恒等变换一、高考风向标主要考查三角函数的定义，三角函数的符号，同角三角函数关系式及诱导公式，两角和与差的三角函数，二倍角的正弦、余弦、正切公式，三角函数的图象与性质，包括周期性、奇偶性、单调性、和最值性对于三角函数，高考都是送分为主，因此要求同学们对公式要熟记，对图像和性质方法要理解掌握好！对每次考试存在的三角问题要懂得反思。同时对如下的高考题尽量理解掌握。二、知识框图：应用弧长与扇形同 角 三 角 函 数诱导应用计算与化简面积公式的基本关系式公式证明恒等式应用角度制与任意角的三角函数的已 知 三 角 函任意角的概念应用图像和性质数值求角弧度制三角函数和角公式应用倍角公式应用差角公式应用三
2、、知识点整理函数y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域值域第 1页单调性最值奇偶性对称性对称中心：对称中心：对称中心：对称轴：对称轴：对称轴：周期如果求y=Asin( x+ )、y=Acos( x+ )、y=Atan( x+ )的单调性、 对称性、 最值等采取整体思想解题。四、解三角函数性质问题的技巧及注意事项1。求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式（组）。通常可用三角函数的图像来求解，注意数形结合思想的应用。2。三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题。如求 y=(sinx-2) 2 -3 的最值。常用的方法有：化为代数函数的值域或化为关于sinx
3、( 或 cosx)的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为求二次函数在限定区间上的值域。3。若利用到公式 asin +bcos ,若 a0,确记！5。比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数值，再利用单调性比较。6。研究函数y=Asin( x+ ) 的奇偶性时， 在定义域关于原点对称的前提下，当 =k时，函数为奇函数；当 =k+/2 时，函数为偶函数。其余为非奇非偶函数。一同角三角函数的关系、诱导公式总结提高1. 对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就第 2页成立，如： sin 2( 2) cos2 ( 2
4、) 1 是恒成立的 .2. 诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.二 两角和与差、二倍角的三角函数总结提高1. 两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.(1) 它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；(2) 对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；(3) 掌握角的演变规律，如“ 2 ( ) ( ) ”等 .2. 通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.三 三角恒等变换总结提高三角恒等式的证
5、明，一般考虑三个“统一”：统一角度，即化为同一个角的三角函数；统一名称，即化为同一种三角函数；统一结构形式.四三角函数的图象和性质总结提高1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.3. 求三角函数的最小正周期时，要尽可能化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响 .4. 判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.五 函数 yAsin ( x ) 的图象和性质总结提高1. 用“五点法”作y sin( ) 的图象， 关键是五个点的选取，3一般令 0， ，2，Axx22即可得到作图所需的五个点的
6、坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整x 的取值，以便列表时能使x 在给定的区间内取值 .2. 在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母 x 本身而言的， 无论沿 x 轴平移还是伸缩， 变化的总是 x.3. 在解决 y Asin( x ) 的有关性质时，应将x 视为一个整体x 后再与基本函数ysinx 的性质对应求解.第 3页一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：例 1.下列各式中，值为1 的是（）2A 、 sin15 cos15B、 cos2sin2C 、tan 22.5D 、 1 cos30121
7、21tan 2 22.52例 2.命题 P： tan( AB )0 ，命题 Q： tan Atan B0 ，则 P 是 Q 的（）A 、充要条件B、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件例 3.已知 sin()coscos()sin3 ，那么 cos 2的值为 _5例 4.13sin10的值是 _sin 80例 5.已知 tan1100a ，求 tan 500 的值（用 a 表示）甲求得的结果是a3 ，乙求得的结果是1 a2，13a2a对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_答案： C C74甲、乙都对25二、 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路一角二名三结构即
8、首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:1. 巧变角 （已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换 .如()()， 2()() ， 2() () ，2，22等）22例 1. 已知 tan()2 ，tan()1 ，那么 tan(4) 的值是 _ ；544第 4页例 2. 已知 0，且 cos()1 ， sin(2)2 ，求 cos() 的值2293例 3. 已知 ,为锐角， sinx,cosy ， cos()3 ，则 y 与 x 的函数关
9、系为 _52. 三角函数名互化 ( 切化弦 )例 1.求值 sin 50 (13 tan10 )例 2. 已知 sincos1,tan()2 ，求 tan(2) 的值1cos231183.公式变形使用（ tantantan1tantan。例 1.已知 A 、B 为锐角，且满足 tan A tan Btan Atan B 1，则 cos( AB) _ ；例 2.设 ABC 中， tan Atan B33，则此三角形是 _ 三角3 tan Atan B ， sin Acos A4形2等边24. 三角函数次数的降升( 降幂公式： cos21cos2， sin21 cos2与升幂公式：221 cos22cos2， 1cos22sin 2) 。例 1.若( , 3) ，化简1111 cos2为 _；22222例 2.函数 f ( x )5 sin xcos x 53 cos2x53( xR) 的单调递增区间为_25. 式子结构的转化 ( 对角、函数名、式子结构化同) 。例 1. tan (cossin )sintancotcsc第 5页例 2. 求证：1sin1tan
