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1、空间向量练习一、选择题(共15小题,每小题4.0分,共60分) 1.已知平面的一个法向量是(2,1,1),则下列向量可作为平面的一个法向量的是()A (4,2,2) B (2,0,4) C (2,1,5) D (4,2,2)2.如图,过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面AC,若EA1,则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A 120 B 45 C 150 D 603.已知(1,2,3),(2,1,2),(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为()A B C D4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC,有如下四个结论:ACBD;ACD
2、是等边三角形;AB与平面BCD所成的角为60;AB与CD所成的角为60.其中错误的结论是()A B C D 5.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,ABBCAA1,ABC90,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1的夹角是()A 45 B 60 C 90 D 1206.已知在空间四面体OABC中,点M在线段OA上,且OM2MA,点N为BC中点,设a,b,c,则等于()Aabc Babc Cabc Dabc7.已知在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E是DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,则AB1与D1E所成角的余弦值为()A B C D
3、8.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分别是棱CC1,BC,A1B1上的点,若B1MN90,则PMN的大小()A 等于90 B 小于90 C 大于90 D 不确定9.如图,S是正三角形ABC所在平面外一点,M,N分别是AB和SC的中点,SASBSC,且ASBBSCCSA90,则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()A B C D10.已知平面内两向量a(1,1,1),b(0,2,1)且cmanb(4,4,1)若c为平面的法向量,则m,n的值分别为()A 1,2 B 1,2 C 1,2 D 1,211.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,底面ABC是等
4、腰直角三角形,ACB90,侧棱AA12,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G,则A1B与平面ABD所成角的正弦值为()A23 B73 C32 D3712.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,2ACAA1BC2,若二面角B1DCC1的大小为60,则AD的长为()A2 B3 C 2 D2213.三棱锥ABCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若n1,n23,则二面角ABDC的大小为()A3 B23 C3或23 D3或314.已知AB(1,5,2),BC (3,1,z),若ABBC,BP(x1,y,3),且BP平面ABC,则BP等
5、于()A407,157,-3 B337,157,-3 C-407,-157,-3 D337,-157,-315.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等给出下列结论:A1MD1P;A1MB1Q;A1M平面DCC1D1;A1M平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A 1 B 2 C 3 D 4二、填空题(共6小题,每小题4.0分,共24分)16.如图所示,已知正四面体A-BCD中,AEAB,CFCD,则直线DE和BF所成角的余弦值为_17.已知a(3,2,3),b(1,x1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范
6、围是_18.如图,平面PAD平面ABCD,ABCD为正方形,PAD90,且PAAD2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为_19.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为_20.如下图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB2,E为PB的中点,cosDP,AE33,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为_21.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB(2,1,4),AD(4,2,0),AP(1,2,1)对于结论:APAB;APAD;AP是平
7、面ABCD的法向量;APBD.其中正确的是_三、解答题(共6小题,每小题11.0分,共66分) 22.如图所示,已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形,ABDC,DAB90,PA底面ABCD,且PAADDC12AB1,M是PB的中点(1)证明:面PAD面PCD;(2)求AC与PB所成角的余弦值;(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值23.如下图所示,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,PAAB,ABC60,BCA90,点D,E分别在棱PB,PC上,且DEBC.(1)求证:BC平面PAC;(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值;(3)是否存在点E,使得二面角ADEP为直
8、二面角?并说明理由24.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F是棱BC,CD的中点,求:(1)直线DF与B1F所成角的余弦值;(2)二面角C1EFA的余弦值25.如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB垂直于AD和BC,侧棱SB平面ABCD,且SBABAD1,BC2.(1)求SA与CD所成的角;(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值26.如下图,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,ADCD1,AA1AB2,E为棱AA1的中点(1)证明B1C1CE;(2)求二面角B1CEC1的正弦值27.如下图,在正四
9、棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB2,AA14,E为BC的中点,F为CC1的中点(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值;(2)求二面角FDEC的余弦值空间向量练习答案解析1.【答案】D【解析】,的法向量与的法向量平行,又(4,2,2)2(2,1,1),故选D.2.【答案】B【解析】以A为坐标原点,分别以AB,AD,AE所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)设平面BCE的法向量为n(x,y,z),则即可取n(1,0,1)又平面EAD的法向量为(1,0,0),所以cosn,故平面
10、ADE与平面BCE所成的二面角为45.3.【答案】C【解析】设Q(x,y,z),因Q在上,故有,设(R),可得x,y,z2,则Q(,2),(1,2,32),(2,1,22),所以62161062,故当时,取最小值,此时Q.4.【答案】C【解析】如图所示,取BD的中点O,以点O为坐标原点,OD,OA,OC所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD边长为,则D(1,0,0),B(1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以(0,1,1),(2,0,0),0,故ACBD.正确又|,|,|,所以ACD为等边三角形正确对于,为面BCD的一个法向量,cos,.所
11、以AB与OA所在直线所成的角为45,所以AB与平面BCD所成角为45.故错误又cos,.因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB与CD所成角为60.故正确5.【答案】B【解析】不妨设ABBCAA11,则(),|,|,()(),cos,60,即异面直线EF与BC1的夹角是60.6.【答案】B【解析】()bca.7.【答案】A【解析】A(2,2,0),B1(2,0,2),E(0,1,0),D1(0,2,2),(0,2,2),(0,1,2),|2,|,0242,cos,又异面直线所成角的范围是,AB1与ED1所成角的余弦值为.8.【答案】A【解析】A1B1平面BCC1B1,故A1B1MN,()0,
12、MPMN,即PMN90.9.【答案】B【解析】不妨设SASBSC1,以S为坐标原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Sxyz,则相关各点坐标为A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),S(0,0,0),M,N.因为,所以|,|,cos,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.10.【答案】A【解析】cmanb(4,4,1)(m,m,m)(0,2n,n)(4,4,1)(m4,m2n4,mn1),由c为平面的法向量,得即解得11.【答案】A【解析】侧棱与底面垂直,ACB90,所以分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图空间直角坐标系,设CACBa,则A(a,0,0),B(0,a,0),A1(a,0,2),D(0,0,1),Ea2,a2,1,Ga3,a3,13,GEa6,a6,23,BD(0,a,1),点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G,GE平面ABD