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1、1中考数学压轴题汇编（1）1、如图，抛物线 经过 的三个顶点，已知254yaxABC轴，点 在 轴上，点 在 轴上，且 BCx ACy（1）求抛物线的对称轴；（2）写出 三点的坐标并求抛物线的解析式；B， ，（3）探究：若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点，是否存在Px是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点 坐标；不存在，请说明理由PA P解：（1）抛物线的对称轴 2 分（2） 5 分52ax(30)A， (54)B， (0)C，把点 坐标代入 中，解得 6 分 7 分24ya16216yx（3）存在符合条件的点 共有 3 个以下分三类情形探索P设抛物线对称轴与 轴交于 ，与 交于 xN
2、CBM过点 作 轴于 ，易得 ， ， ，BQ4Q8A5.N2BM以 为腰且顶角为角 的 有 1 个： 8 分AAP 1P 2840AQ在 中， 9 分1RtN 2221 1980(5.)NAB1592P，以 为腰且顶角为角 的 有 1 个： ABBP 2P在 中， 10 分2RtMP 222 259804MAB2589P，以 为底，顶角为角 的 有 1 个，即 画 的垂直平分线交抛物线对称轴于 ，此ABP 3P AB3时平分线必过等腰 的顶点 过点 作 垂直 轴，垂足为 ，显然 C 3KyK3RttCBAQ 于是 13 分312PKQA3.5K1O14 分 注：第（3）小题中，只写出点 的坐标
3、，无任何说明者不得分3(.5)， PAx011 2P13y22、如图 12，已知直线 与双曲线 交于 两点，且点12yx(0)kyxAB，的横坐标为 A4（1）求 的值；k（2）若双曲线 上一点 的纵坐标为 8，求 的面积；(0)ykxCAOC（3）过原点 的另一条直线 交双曲线 于 两点（ 点在Ol(0)kyxPQ，第一象限） ，若由点 为顶点组成的四边形面积为 ，求点 的坐标ABPQ， ， ， 24解：(1)点 A 横坐标为 4 , 当 = 4 时， = 2 .xy 点 A 的坐标为（ 4，2 ）. 点 A 是直线 与双曲线 （k0）的交点 , k = 4 2 = 8 . (2) 解法一：
4、如图 12-1， 点 C 在双曲线 上，当 = 8 时， = 1yx 点 C 的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点 A、 C 分别做 轴、 轴的垂线，垂足为 M、 N，得矩形xy DMON .S 矩形 ONDM= 32 ， S ONC = 4 ， S CDA = 9， S OAM = 4 . SAOC = S 矩形 ONDM - SONC - SCDA - SOAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . （3） 反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形 , OP=OQ， OA=OB . 四边形 APBQ 是平行四边形 . S POA = S 平行四边形 APBQ = 24 = 6
5、 . 设点 P 的横坐标为 （ 0 且 ）,m4得 P ( , ) .图 12OxAyBxy1xy8414183过点 P、 A 分别做 轴的垂线，垂足为 E、 F， 点 P、 A 在双曲线上，S POE = SAOF = 4 .x若 0 4，如图 12-3， S POE + S 梯形 PEFA = S POA + SAOF ,m S 梯形 PEFA = SPOA = 6 . .18(2)46m解得 = 2， = - 8(舍去) . P（2，4）. 若 4，如图 12-4，m S AOF + S 梯形 AFEP = SAOP + SPOE , S 梯形 PEFA = SPOA = 6 . ，解得
6、 = 8， = - 2 (舍去) .18(2)46mm P（8，1）. 点 P 的坐标是 P（2，4）或 P（8，1）. 5、如图，抛物线 交 轴于 A、 B 两点，交 轴于点 C，点 P 是它的顶点，点 A 的横坐标是21yxnxy3，点 B 的横坐标是 1(1)求 、 的值；mn(2）求直线 PC 的解析式；(3）请探究以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线PC 的位置关系，并说明理由(参考数： ， ， )21.431.752.4解： (1)由已知条件可知： 抛物线 经过 A(-3，0)、 B(1，0)两点2yxmn 解得 (2) ， P(-1，-2)，903,21.mn 31,2n21
7、3yxC 设直线 PC 的解析式是 ，则 解得 3(0,)2ykxb,3.2kb13,2kb 直线 PC 的解析式是 说明：只要求对 ，不写最后一步，不扣分132y1k，(3) 如图，过点 A 作 AE PC，垂足为 E设直线 PC 与 轴交于点 D，则点 D 的坐标为(3，0)在 RtxOCD 中， O C= ， ，32D 8 分()54 O A=3， ， AD=6 9 分 COD= AED=90o， CDO 公用，3D COD AED ， 即 ，CDAE3526AE65AE652.8.5; 以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 相离 12 分6、如图 14，从一个直径是 2 的圆
8、形铁皮中剪下一个圆心角为 的扇形90（1）求这个扇形的面积（结果保留 ） （3 分）（2）在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由 （4 分）（3）当 的半径 为任意值时， （2）中的结论是否仍然成立？请说明理由 （5 分）O;(0)R解：（1）连接 ，由勾股定理求得：BC 1 分2A 2 分1360nRS（2）连接 并延长，与弧 和 交于 ，AOBCO;EF，1 分 弧 的长： 2 分2EF180nRl2r圆锥的底面直径为： 3 分 ， 不能在中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆r2锥 （3）由勾股定理求得： 弧 的长： 2ABCRB2180nRl
9、2rR圆锥的底面直径为： 且 2r2()EFA20即无论半径 为何值， 不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成(2)RRr圆锥ABCO EF57、如图，对称轴为直线 x 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4） 27（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点 E（ x， y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形，求四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）当四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断 OEAF 是否为菱形？是否存在点 E，使四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E
10、的坐标；若不存在，请说明理由9、 （湖北荆门）如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0，0)， A(4，0)， C(0，3)，点 P是 OA 边上的动点(与点 O、 A 不重合)现将 PAB 沿 PB 翻折，得到 PDB；再在 OC 边上选取适当的点 E，将POE 沿 PE 翻折，得到 PFE，并使直线 PD、 PF 重合(1)设 P(x，0)， E(0， y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 y 的最大值；(2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、 B、 E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使 P
11、EQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标解：(1)由已知 PB 平分 APD， PE 平分 OPF，且 PD、 PF 重合，则 BPE=90 OPE APB=90又 APB ABP=90， OPE= PBARt POERt BPA2 分 即 y= (0 x4)POBAE34xy2114(4)3xx且当 x=2 时， y 有最大值 4 分3OEFx=72B(0,4)A(6,0) xy图 1FEPDyxBACO图 2OCABxy DPE F6(2)由已知， PAB、 POE 均为等腰三角形，可得 P(1，0)， E(0，1)， B(4，3)6 分设过此
12、三点的抛物线为 y=ax2 bx c，则 1,0,643.abc1,2,1.abcy= (3)由(2)知 EPB=90，即点 Q 与点 B 重合时满足条件9 分213x直线 PB 为 y=x1，与 y 轴交于点(0，1)将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0，1)，该直线为y=x1由 得 Q(5，6)2,3,5,6.x故该抛物线上存在两点 Q(4，3)、(5，6)满足条件 12yxNHD PQE MCBAO11，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰PQR 中，QPR=120 ，底边QR=6cm，点 B、C 、Q、R 在同一直线 l 上，且 C、Q
13、 两点重合，如果等腰PQR 以 1cm/秒的速度沿直线 l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形 ABCD 与等腰PQR 重合部分的面积记为 S 平方厘米（1）当 t=4 时，求 S 的值（2）当 ，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值4t图 11725 （1） t4 时,Q 与 B 重合，P 与 D 重合，重合部分是 DC32125（本题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 32x+b+c经过 A（0，4） 、 B（ x1，0） 、 C（ x2，0）三点，且 2- 1=5（1）求 b、 c的值；（4 分）（2）在抛物线上求一点 D，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形；（3 分）（3）在抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求出点 P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由 （3 分）25. 解：（1）抛物线 y= 32x+b+c经过点 A（0，4） ， c=4 又由题意可知， x1、 2是方程 3x2+b+c=0 的两个根， x1+ 2= ， x12= c=6 由已知得（ 2- 1） =25（第 25 题图）AxyB C O8又（ x2- 1） 2=（ x+ 1） 24 x12= 9b24 49b224=25 解得 b=
