《2011年届高考求空间角与距离归纳》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年届高考求空间角与距离归纳（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -2011 年届高考求空间角与距离归纳1. 基本概念：1.1. 向量的数量积和坐标运算是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数 叫做 与ba, cos|baa的数量积（或内积） ，记作 ，即 其几何意义是 的ba .|长度与 在 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是： 若 ，则),(),(21zyxzyxa ； 12b ；2212|,| zyxbzyx 212a 221211,cos zyxzyxb1.2. 异面直线 所成的角nm,分别在直线 上取定向量 则异面直线 所,banm,成的角 等于向量 所成的角或其补角（如图 1 所示）ba,，则 .|cos1.3. 异面直线 的距离nm、分别
2、在直线 上取定向量 求与向量 都垂直的、 ,baba、向量 ，分别在 上各取一个定点 ，则异面直线 的距离 等于n、 BA、 nm、 d在 上的射影长，即 .AB|nd证明：设 为公垂线段，取 （如图 1 所示） ，则CDbDaC,C图1DABnmab- 2 -| )(nABCDD|d设直线 所成的角为 ，显然nm,.|cosba1.4. 直线 与平面 所成的角L在 上取定 ，求平面 的法向量 （如图 2 所示）ABn，再求 ，则 为所求的角. |cosn21.5 二面角方法一：构造二面角 的两个半平面 的法l 、向量 （都取向上的方向，如图 3 所示） ，则21n、 若二面角 是“钝角型”的
3、如图 3 甲所示，l那么其大小等于两法向量 的夹角的补角，即21n、（例如 2004 年高考数学广东卷第 18 题第（1）问）.|cos21n 若二面角 是“锐角型”的如图 3 乙所l示，那么其大小等于两法向量 的夹角，即21、（例如 2004 年高考数学广东卷第.|cos21n18 题第（1）问）.方法二：在二面角的棱 l上确定两个点 ，过 分别在平面 内BA、 、 、求出与 l垂直的向量 （如图 4 所示） ，则二面角21n、的大小等于向量 的夹角，即 、 1n2图3乙 l1n2l图3甲1n2l图4BAnBAL图2- 3 -.|cos21n1.6. 平面外一点 到平面 的距离p先求出平面
4、的法向量 ，在平面内任取一定点 ，则A点 到平面 的距离 等于 在 上的射影长，即pdAPn.（例如 2004 年广州一模第 18 题第（）问）|nAPd.17 法向量上面“”中，均运用了法向量但教科书对此只作了简略的处理，所以我们有必要对它进一步的挖掘和丰富直线的法向量：在直线 上取一个定向量 ，则与 垂直的非零向量 叫Lnan直线 的法向量其具体求法见本文例之“（）解法二” L平面的法向量：与平面 垂直的非零向量 叫平面 的法向量其具体求法见本文例之“（）解法一” 构造直线或平面的法向量，在求空间角与距离时起到了桥梁的作用，在解题过程中只须求出而不必在图形中作出来在空间直角坐标系下，构造关
5、于法向量坐标的三元一次方程组，得到直线（或平面）的法向量坐标的一般形式，再取特值. 其向上或向下的方向可根据竖坐标的符号来确定.由上可见，利用向量的数量积可把求距离、夹角问题转化为向量的运算，和原来距离、夹角求解中的“作、证、算”有较大差异.掌握了以上的基本概念和方法，就会使解决立体几何中夹角与距离的问题难度降低，也拓展了我们解决问题的思路.2. 基本方法：利用向量解立体几何中垂直、夹角、距离等问题，其基本方法是：把有关线段与相应的向量联系起来，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算进行计算或证明. 具体地说，有以下两种基本方法.2.1. 基向量法图5pn- 4 -由于空间中任何向量均可由
6、不共面的三个基向量来线性表示，因此在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把有关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来. 再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的. 一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量.例 1 如图 6，已知正三棱柱 的棱长为 2，底面边长为1CBA1， 是 的中点.MBC（1）在直线 上求一点 ，使 ；1N1M（2）当 时，求点 到平面 的距离.AN1A（3）求出 与侧面 所成的角.1BC分析 1 （1）的 问题显然是求使异面直线 与N所成的角为直角的点 .依据向量数量积的概念，必须由条件A，求出 的长度，而 与 都不是已知向011ABMN
7、CM1AB量，且和 没有直接联系，因此必须选择一组基向量来表示 与 .C N1（1）解法一：取共点于 的三个不共面的已知向量为基向量，1BA、 021210)()( 21, ,0111 11 CNBCNABMABNA及正 三 棱 柱由 0cos|29cos290cos|0cos 8|41分析 2 本小题还可以取共点于 的三个不共面的已知向量 为A1,ACB基向量，从而得（1）解法二：ABCN11图6- 5 -,111ABAB CNABACABCANMN CABCBNC 111211 )(2()()( .)(21)(2)a20140cos9cos )90cos296(2 .81|,1 CNaAB
8、MN，比较方法一与方法二，方法一比方法二运算简便. 因为用方法一选择的一组基向量表示 时式子较为简单. 这告诉我们可选择的基向量并不唯一，我们应选择使得运算简便的那一组向量作为基向量. 当几何体中能够找到（或构造出）三个共点且两两垂直的基向量时，我们就可以用下面的方法解决问题.2.2. 坐标法所谓坐标法，就是建立适当的空间直角坐标系(本文所建立的都是右手直角坐标系) ，把向量用坐标来表示，用向量的坐标形式进行向量的运算，以达到解决问题的目的.运用坐标法时，也必须首先找出三个基向量，并且这三个基向量两两垂直,由此建立空间直角坐标系. 因而坐标法是基向量法的特殊情形，但坐标法用于求长度、角度或解决
9、垂直问题时，比较简单.在坐标法下，例 1 几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法：（1）解法三：以 分别为 轴、 轴，垂直于1AC、 yz的 为 轴建立空间直角坐标系 ，1A、 xxyzA设 ，则有aN| BCMN1A1yz图7- 6 -.、)0,(A),10(),43()2,13( aNMB、于是 得由 MABAaMN11),23(),43(81023),(),(01aB由上面的解法三可知，通过建立空间直角坐标系，找出了相关点的坐标，从而把几何图形的性质代数化，通过向量的计算解决问题，显得快捷简便.在空间直角坐标系下，例 1 的第（2） 、 （3）问便迎刃而解了 .
10、下面给出解答.(2)解：当 时，由（1）解法三知， ABMN、)0,(A)81,0(),4()2,3(1 N、，则 ，),(1 )2,0(),43(),81( 1AAMN设向量 与平面 垂直，则有),(zyxn)0()1,3(8),183( 81340813zzzn zyxyxzAM取 ,0向量 在 上的射影长即为 到平面 的距离，设为 ，于是1A0n1AMNd521)(3|,2,0|,cos| 20101 nnd（3）根据上面“1.4. 直线 与平面 所成的角”中所提到的方法，须求出平L- 7 -面 的一个法向量 ，进而求 与 所在直线的夹角。1ACn1ABn设平面 的一个法向量为 ，则有取
11、 ，);0(),1)0,(,021 xxnzyzAn )0,1(n则 105)2(1)23(,0,|,cos| 0101 nABn故 与侧面 所成的角为： .1AB1C105arcsin05cosar本题的解题过程告诉我们，用坐标法求空间角与距离，就是用空间向量将空间元素的位置关系转化为坐标表示的数量关系，解题的关键是根据几何体的特点，选取恰当的坐标原点和坐标轴，一般来说，长方体、正方体中较为容易建立坐标系高考对空间向量的考查是以立体几何为载体，利用空间向量求有向线段的长度，求两条有向线段的夹角（或其余弦、正弦、正切） ，二面角、点到平面的距离、异面直线的距离、证明线线、线面、面面垂直等.下面
12、是今年广东高考数学及广州一模，体现了高考对空间向量的考查要求.例 2（2004 年全国普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷第 18 题）如右图 8,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1.(1) 求二面角 CDEC1 的正切值;(2) 求直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值.解题分析：本题主要考查了二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、思维能力、运算能力.高考试卷给出的参考答案分别用了传统方法及向量法. 在传统解法中，运用三垂线定理作出二面角的平面角并正明，通过延长和CD
13、1A1EF图8B- 8 -平移线段作出异面直线所成的角,进而通过解直角三角形和斜三角形解决问题. 在用向量法的解答上，选择 为空间直角坐标系的原点， 分别为A1,ADB轴， 轴, 轴的正向，这不是右手直角坐标系，虽然与右手直角坐标系没有xyz本质上的区别，但教科书中所建立及提倡的是右手直角坐标系，所以考生习惯用右手直角坐标系. 用向量法解决第（1）问时只是用了本文所提到的“1.5 二面角”之“方法一”. 下面本人以自己的习惯，通过建立右手直角坐标系来解答，并用本文所提到的“1.5 二面角”之“方法二”补充第（）问的解法二.解：（I）解法一：以 为原点， 分别为 轴， 轴, 轴的正D1,DCAx
14、yz向建立空间直角坐标系，则有 ,)240(),(),20(),( 11于是， ,2,40),2(),03(1CFE )24(331FDEC设向量 与平面 垂直，则有zyxnDE1zyxED210231 其中),1(),2(zzn取 ，则 是一个与平面 垂直的向量，,00nDEC1向量 与平面 垂直，)(1D与 所成的角 为二面角 的平面角0n1.2tan,36202)1(0|cos 2210 （）解法二：令 点在 上，且 ，可设 点的坐标为MDEECM，则),3()0,43,(C0128),3(DEC.,2().0,2(,32- 9 -再令 点在 上，且 ，设 点的坐标为 ，则NDEENC1
15、 )0,3(N2tan .362)(02)(,|cos )(),2(,32 1280,32,43(),4,( 21111 NCMC（II）设 与 所成角为 ，则1EFD142)4(21)3()(|cos 221 C因为本题的已知条件和结论具有一定的解题方向性，它明确告诉我们用向量的方法解决问题. 在高考结束后，本人询问了自己所任教班级的部分学生，他们大多数能用向量法解这道题. 如果不用向量法，对于中等（或以下）水平的学生，他们连二面角的平面角或异面直线所成的角都作不出来. 可见，用空间向量处理立体几何中的角与距离问题，可以降低立体几何的论证、推理难度，使中等（或以下）水平的学生也能很好的掌握，提高得分的能力.对此问题，我们在高考备考上就有意识地引导学生英德市在三月份组织了一次全市统考
