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1、第 1 讲函数、函数与方程及函数的应用 高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是B 级要求，是重要考点； (2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性 质都是考查热点，要求都是B 级；(3)函数与方程是 B级要求，但经常与二次函数 等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(4)函数模型及其应用是 考查热点，要求是B 级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性 质、导数、不等式综合考查. 真 题 感 悟 1.(2016 江苏卷 )函数 y32xx 2的定义域是 _. 解析要使函数有意义，需且仅需32xx20，解得 3x1.故函数定义域 为3，1
2、. 答案3，1 2.(2016 江苏卷 )设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1，1)上，f(x) xa，1x0， 2 5x ，0 x1， 其中 aR.若 f 5 2 f 9 2 ，则 f(5a)的值是 _. 解析由已知 f 5 2 f 5 22 f 1 2 1 2a， f 9 2 f 9 24 f 1 2 2 5 1 2 1 10. 又f 5 2 f 9 2 ， 则 1 2a 1 10，a 3 5， f(5a)f(3)f(34)f(1)13 5 2 5. 答案2 5 3.(2014 江苏卷 )已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3)时，f(x)
3、 x 22x1 2 .若函数 yf(x)a 在区间 3，4上有 10 个零点 (互不相同 )，则实 数 a 的取值范围是 _. 解析作出函数 yf(x)在3，4上的图象， f(3)f(2)f(1)f(0)f(1) f(2)f(3)f(4) 1 2，观察图象可得 0a 1 2. 答案0，1 2 4.(2015 江苏卷 )已知函数 f(x)|ln x|，g(x) 0，0 x1， |x 24|2，x1，则方程 |f(x)g(x)| 1 实根的个数为 _. 解析令 h(x)f(x)g(x)，则 h(x) ln x，0 x1， x 2ln x2，1x2， x 2ln x6，x2， 当 1x2时，h (x
4、)2x 1 x 12x 2 x 0，故当 1x2时 h(x)单调递减，在同 一坐标系中画出 y|h(x)|和 y1 的图象如图所示 . 由图象可知 |f(x)g(x)|1 的实根个数为 4. 答案4 考 点 整 合 1.函数的性质 (1)单调性 ()用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性. ()常见判定方法：定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常 用的方法有：通分、配方、因式分解；图象法；复合函数的单调性遵循“同 增异减”的原则；导数法. (2)奇偶性：若 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(x)；若 f(x)是奇函数， 0在其定义 域内，则 f(0)0；奇函数在关
5、于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数 在关于原点对称的区间内有相反的单调性； (3)周期性：常见结论有若yf(x)对 xR，f(xa)f(xa)或 f(x2a)f(x)(a 0)恒成立，则 yf(x)是周期为 2a的周期函数；若 yf(x)是偶函数，其图象又 关于直线 xa 对称，则 f(x)是周期为 2|a|的周期函数；若yf(x)是奇函数，其 图象又关于直线 xa 对称，则 f(x)是周期为 4|a|的周期函数；若f(xa) f(x)或f（xa） 1 f（x） ，则 yf(x)是周期为 2|a|的周期函数 . 2.函数的图象 (1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基
6、本方法：一是 描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. 3.求函数值域有以下几种常用方法： (1)直接法； (2)配方法； (3)基本不等式法； (4)单调性法； (5)求导法； (6)分离变量 法.除了以上方法外，还有数形结合法、判别式法等. 4.函数的零点问题 (1)函数 F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数 yf(x)的图象与 函数 yg(x)的图象交点的横坐标 . (2)确定函数零点的常用方法：直接解方程法；利用零点存在性定理；数 形结合，利用两个函数图象的
7、交点求解. 5.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题 （文字语言） ? 建模 （数学语言） ? 求解 （数学应用） ? 反馈 （检验作答） 与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉 及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相 关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答. 热点一函数性质的应用 【例 1】 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)2|x m|1(m为实数 )为偶函数，记 a f(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为 _(从小到大排 序). (2)(2
8、016 全国卷改编 )已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)2f(x)，若函数 yx1 x 与 yf(x)图象的交点为 (x1，y1)，(x2，y2)， (xm，ym)，则 i1 m (xiyi) _. 解析(1)由 f(x)2|xm|1 是偶函数可知 m0， 所以 f(x)2 |x|1. 所以 af(log0.53)2 |log 0.5 3|12log 2312， bf(log25)2 |log 2 5| 12 log 2 514， cf(0)2 |0|10，所以 cab. (2)由题设得 1 2(f(x)f(x)1，点(x，f(x)与点(x，f(x)关于点 (0，1)对称， 则 yf(x
9、)的图象关于点 (0，1)对称. 又 y x1 x 11 x，x0 的图象也关于点 (0，1)对称. 则交点 (x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成对出现，且每一对关于点(0，1)对称. 则 i1 m ii xy i1 m i x+ i1 m i y=0m 2 2m. 答案(1)cab(2)m 探究提高(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析 式的范围内的函数值 .(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对 称轴). 【训练 1】 (1)(2015 全国卷)若函数 f(x)xln(xax 2)为偶函数，则 a _. (2)(2016四川卷 )已知函
10、数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0x0. 若|f(x)|ax， 则实数 a 的取值范围是 _. (2)(2015 全国卷改编 )设函数 f(x)e x(2x1)axa，其中 a1，若存在唯一的 整数 x0使得 f(x0)0，则实数 a 的取值范围是 _. 解析(1)函数 y|f(x)|的图象如图 .yax 为过原点的一条直线， 当 a0 时，与 y|f(x)|在 y 轴右侧总有交点，不合题意；当a0 时成立；当 a0 时，找与 y|x 22x|(x0)相切的情况， 即 y2x2，切线方程为 y(2x02)(xx0)，由分析可知 x00，所以 a2， 综上， a2，0.
11、(2)设 g(x)e x(2x1)，h(x)axa，由题知存在唯一的整 数 x0，使得 g(x0)ax0a， 因为 g(x)e x(2x1)，可知 g(x)在 ，1 2 上单调递 减，在 1 2， 上单调递增，作出 g(x)与 h(x)的大致图象如图所示，故 h（0）g（0）， h（1）g（1）， 即 a1， 2a 3 e ， 所以 3 2e a1. 答案(1)2，0(2) 3 2e ，1 探究提高(1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图 象求参数范围 . (2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、 不等式的求解常与图象数形结合研究. 【训练
12、 2】 (2016苏、锡、常、镇调研 )设奇函数 f(x)在(0， )上为增函数，且 f(2)0，则不等式 f（x）f（x） x 0，在 (，2)和(0，2)上 f(x)0 时，由 f（x）f（x） x 0，可 得 f(x)f(x)2f(x)0，结合图象可知 (0，2)符合；当 x0 时，由 f（x）f（x） x 0，结合图象可知 (2，0)符合. 答案(2，0)(0，2) 热点三函数与方程问题 微题型 1函数零点个数的求解 【例 31】 (2016南京、盐城模拟 )函数 f(x)4cos 2x 2cos 2 x 2sin x|ln(x 1)|的零点个数为 _. 解析f(x)4cos 2x 2
13、sin x2sin x|ln(x1)|2sin x 2cos 2x 21 |ln(x1)| sin 2x|ln(x1)|，令 f(x)0，得 sin 2x|ln(x1)|.在同一坐标系中作出两个函数 ysin 2x 与函数 y|ln(x1)|的大致图象如图所示 . 观察图象可知，两函数图象有2 个交点，故函数f(x)有 2 个零点 . 答案2 探究提高解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结 合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数 零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 微题型 2由函数的零点 (或方程的根 )求参数 【例 32
14、】 (1)(2016 南京三模 )设函数 f(x) x1 e x ，xa， x1，xa， g(x)f(x)b.若存在实数 b，使得函数 g(x)恰有 3个零点，则实数 a的取值范围为 _. (2)已知函数 f(x) 2|x|，x2， （x2）2，x2， 函数 g(x)bf(2x)，其中 bR，若函数 yf(x)g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是 _. 解析(1)当 f(x) x1 e x 时，f (x) 2x e x ，由 f(x)0 得 x2，且当 x2 时，f (x) 0，f(x)单调递增，当 x2 时，f (x)0，f(x)单调递减，则当 x2 时，f(x)有极 大值 f(2
15、) 1 e 2.当x1 1 e 2时，x1 1 e 2. 结合图象可得当存在实数b 使得 g(x)f(x)b 恰有 3 个零点时， 1 1 e 2a2. (2)函数 yf(x)g(x)恰有 4个零点，即方程 f(x)g(x)0，即 bf(x)f(2x)有4个不同实数根，即直线yb与函数 yf(x) f(2x)的图象有 4 个不同的交点，又 yf(x)f(2x) x 2x2，x0， 2，0 x2， x 25x8，x2， 作出该函数的图象如图所示， 由图可知，当 7 4b2 时，直线 yb 与函数 yf(x)f(2x)的图象有 4 个不同的 交点，故函数 yf(x)g(x)恰有 4 个零点时， b
16、 的取值范围是 7 4，2 . 答案(1) 1 1 e 2，2 (2) 7 4，2 探究提高利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解 . (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 【训练 3】 (2016泰州调研 )设函数 f(x)x 23x3a ex(a 为非零实数 )，若 f(x) 有且仅有一个零点，则a 的取值范围为 _. 解析令 f(x)0，可得 x 23x3 e x a， 令 g(x) x 23x3 e x ，则 g(x) （2x3） e xex（ x23x3） （e x）2 x（x1） e x ，令 g(x)0，可得 x(1，0)， 令
