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1、数学试卷 一、选择题 1. 复数z满足1i4i()z，则z( ) A22iB12iC12iD 22i 2. 已知集合 3 |0 1 x Ax x ，则 RA e ( ) A)3,1B, 31,()C ()3,1D, 3()1,( 3. 对某两名高三学生在连续9 次数学测试中的成绩( 单位：分 ) 进行统计得到如下折线图，下面是 关于这两位同学的数学成绩分析 甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130 分； 根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间110,120内； 乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； 乙同学连续九次测验成绩每一次
2、均有明显进步 其中正确的个数为( ) A1 B2 C3 D 4 4. 如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x等于 ( ) A2 B3 C4 D 1 5. 已知fx是奇函数，当0 x时， 2 fx x x ，则函数在1x处的切线方程是( ) A210 xy B220 xy C 210 xy D220 xy 6. 如图，在矩形OABC中的曲线分别是sin,cosyx yx的一部分，,0,(0,1) 2 AC ，在矩形 OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为 1 P，取自非阴影部分的概率为 2 P，则 ( ) A 12 PPB 12 PPC 12 PPD
3、大小关系不能确定 7. 已知ABC中，2,3,60ABACA，ADBC于 D，ADABAC uu u ruuu ruuu r ，则 ( ) A6 B3 2C 3 D2 3 8. 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，以点0(),P b为圆心,a为半径作圆,P圆P与双曲线 C的一条渐近线交于,M N两点，若90MPN，则C的离心率为 ( ) A. 7 2 B. 5 2 C.2D.3 9. 若,m n均为非负整数，在做mn的加法时各位均不进位( 例如：2019 1002119，则称 (),m n为“简单的”有序对，而 mn称为有序对 (),m n的值，那么值为2019的“简
4、单的”有序 对的个数是 ( ) A30 B60 C96 D 100 10.若 1 x 是方程1 x xe的解， 2 x 是方程ln1xx的解，则12 x x 等于 ( ) Ae B 1 C. 1 e D-1 11. 已知函数 sin(),0, 2 fxx 的部分图象如图所示，且fx在0,2上 恰有一个最大值和一个最小值( 其中最大值为1，最小值为 1) ，则 的取值范围是 ( ) A. 7 13 , 12 12 B. 713 , 12 12 C. 11 17 , 12 12 D. 11 17 , 12 12 12. 已知函数1 x fxeax在区间( 1,1)内存在极值点，且( )0f x恰好
5、有唯一整数解，则 a的取值范围是 ( 其中e为自然对数的底数，2.71828e)( ) A. 2 2 1, 2 e e e B. 22 2 11 ,11, 22 ee e e C. 2 2 11 ,(1, ) 2 ee ee ee D(, )1ee 二、填空题 13. 已知二项式 6 1 ax x 的展开式中的常数项为160，则a_. 14. 若实数, x y满足不等式组 40 2380 xy xy x 则目标函数3zxy的最大值为 _ 15. 在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，若四 棱锥PABCD为阳马，侧棱 PA 底面ABCD，且3,4PABCAB，设
6、该阳马的外接球 半径为,R内切球半径为,r则 R r _ 16. 在ABC中，, ,a b c分别为角,A B C所对的边，若2cb，ABC的面积为1，则a的最 小值为 _ 三、解答题 17. 已知数列 n a中， 1 1a， n S是数列 n a的前n项和，且对任意的 * rtN、，都有 2 r t Sr St . (1) 判断 n a是否为等差数列，并证明你的结论； (2) 若数列 n b满足 1* 2() nn n a nN b ，设 n T是数列 n b的前n项和，证明：6 n T. 18. 在RtABC中，90ABC， 1 tan 2 ACB. 已知,E F分别是,BC AC的中点将
7、 CEF沿EF折起，使C到C的位置且二面角CEFB的大小是60. 连接C B，C A，如 图： (1) 求证：平面C FA平面ABC； (2) 求平面AFC与平面BEC所成二面角的大小 19. 已知平面上一动点P到定点(3,0)F的距离与它到直线 4 3 3 x的距离之比为 3 2 ，记动点 P的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C的方程； (2) 设直线: lykxm与曲线C交于,M N两点，点M在x轴上的射影为,G O为坐标原点，若 49OM ONOG ON uuuu r uuu ruuu r uu u r ，求MON面积的最大值 20. 已知()(12l)1)n(1f xx k k x x
8、(1) 判断当10k时fx的单调性； (2) 若 1212 ,()x xxx为fx两个极值点 , 求证 : 12 122()x fxfxxfxx. 21. 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 xmt yt ,(t为参数 ) ，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 4 1 sin . (1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2) 设P为曲线C上的点，PQl，垂足为Q，若PQ的最小值为2，求m的值 22. 不等式选讲 已知函数|,2|fxxaxa aR. (1) 若11f，求a的取值范围； (2) 若0a
9、，对,(x ya，都有不等式( )2020f xyya恒成立，求a的取值范 围 参考答案 1. 答案： D 解析：(1i4)z， 4 22i 1i z . 2. 答案： B 解析：1)30()(xx且1x，| 31Axx，(, 3)1, RA e 3. 答案： B 解析：甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130 分，平均成绩为低于130 分，错 误；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间110,120内， 正确；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，正确；乙 同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故不正确故选B.
10、4. 答案： C 解析：该几何体为四棱锥，体积为 1 (24)2 2 8 3 Vx， 4x. 5. 答案： C 解析：当0 x时，0 x，() 2 x x fx ，(0) 2x fx x x ， ( 1)2kf，切点为( 1, 1)，切线方程为(11)2yx 切线方程为210 xy. 6. 答案： A 解析：根据题意，阴影部分的面积的一半为 0 (cossin )21 4 xx dx， 于是此点取自阴影部分的概率为 1 214(21)4(1.41)1 2 3.22 2 P . 又 21 1 1 2 PP，故 12 PP. 7. 答案： A 解析：,ABACABADBC u uu ru uu r
11、uu u ruu u ru uu r Q， () ()0ABACABAC uuu ruuu ru uu ru uu r ， 22 ()0,6 ,6ABACAB AC uu u ru uu ru uu r uu u r 8. 答案： C 解析：不妨设双曲线C的一条渐近线0bxay与圆P交于,MN，因为90MPN，所以 圆心P到0bxay的距离为 22 22 2 2 bb a c ab ，即 22 222caac，解得2e. 故 选 C. 9. 答案： B 解析：值为2019 的“简单的”有序对的个数是3 1 2 1060. 故选 B. 10.答案： B 解析： 11. 答案： D 解析：由题意知
12、，sin()fxx， 3 (0), 22 f ， 2 3 ， 0,2x， 22227 2,2 333232 x， 1117 1212 . 12. 答案： C 解析：由题意得，0 x fxea在( 1,1)上有解，fx在( 1,1)上单调递增， 1 ae e , 又0fx恰好有唯一整数解，即1 x eax有唯一整数解 设,1 x g xe h xax，结合两函数的图象可知： 若1ae，则唯一整数解为1，故应满足 (1)(1) (2)(2) gh gh , 2 1 1 2 e ea， 故1eae； 若 1 1a e ，则唯一整数解为1，故应满足 ( 1)( 1) ( 2)( 2) gh gh 2
13、2 11 2 ee a ee ， 故 2 2 11 2 ee a ee ， 由得a的取值范围为 2 2 11 ,(1, ) 2 ee ee ee . 13. 答案： 2 解析：二项式 6 1 ax x 的展开式的通项是 666 2 166 1 ()( 1). r rrrrrr r TCaxCax x 令 620r，得3r，因此二项式 6 1 ax x 的展开式中的常数项是 36 33 6 ( 1)160Ca，故 2a. 14. 答案：12 解析：作出可行域如图，目标函数3yxz， 当3yxz过点(4,0)时，z有最大值，且最大值为 12. 15. 答案： 41 2 解析：易知该阳马补形所得到的
14、长方体的对角线为外接球的直径， 所以 2222222 (2)44341RABADAP， 41 2 R. 因为侧棱 PA 底面ABCD，且底面为正方形，所以内切球 1 O在侧面PAD内的正视图是PAD 的内切圆，则内切球半径为1，故 41 2 R r . 16. 答案：3 解析：设角A为， 2222222 2cos445cos(co)4sabcbcbbbb 又 21 2sinsin1 2 ABC b bSb ， 21 sin b， 254cos sin a，设 54cos sin y， 则 2 22 4sincos (54cos)45cos sinsin y， 当45cos0，即 4 cos 5
15、 时，y有最小值为3，故a的最小值为3. 17. 答案： (1) n a是等差数列证明如下： 因为对任意的 * rtN、，都有 2 r t Sr St ， 所以对任意的 * nN，有 2 1 n S n S ，即 2 n Sn. 从而2n时， 1 21 nnn aSSn，且1n时此式也成立 所以 * 1 2 nn aanN， 即 na 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列. (2) 1 2 n n n a b ，得 1 21 2 n n n b. 011 111 13(21) 222 n n Tn， 121 11111 13(23)(21) 22222 nn n Tnn . 两式相减得：
16、121 11111 1222(21) 22222 nn n Tn 11 1111122 12(21)14(21)3(23) 1 22222 1 2 n nnn n nnn ， 1 1 6(23) 2 n n Tn . * nN， 1 1 ()6 2 623 n n Tn. 解析： 18. 答案： (1) 如图，建立空间直角坐标系，设2AB. 则0,0, 20,0,00,2,10,2(),(),(),(),(,01,0),3ABFCE 设平面ABC的法向量为 111 (,)axy z， (0,0, 2),(3,1,0)BABC u u u ru u r ， 1 11 0 30 z xy 令 1 1x，则(1,3,0)a， 设平面AFC的法向量为 222 (,)bxyz， (0,2, 1),( 3,1,2)
