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1、数学试卷 一、选择题 1. 设集合AN,|0 3 x Bx x , 则AB ( ) A.0,3 B.1,2 C.0,1,2 D.0,1,2,3 2. 若复数z满足(2)(2)(34 )ziii , 则z ( ) A.5 B.3? C.5 D.25 3. 在直角坐标系中,若角的终边经过点 22 (sin,cos) 33 P , 则sin() ( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 2 4. 已知数列 n a的前n项和21 n n S, 则 26 aa ( ) A. 1 64 B. 1 16 C.16 D.64 5. 已知双曲线 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一
2、条渐近线与直线210 xy垂直 , 则双曲线C的离 心率为 ( ) A. 2 B.2 C.3 D.5 6. 已知实数,x y满足 230 490 0 xy xy xy , 则2xy的最大值为 ( ) A.9 B.3? C.1 ? D.0 7. 已知,m n是空间中两条不同的直线,是两个不同的平面, 有以下结论 : ,mnmn / /,/ /,/ /mnmn ,mnmn ,/ / /mmnn. 其中正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8. 直线 12:(3)453,:2(5)8lm xym lxm y, 则“m1或 7m”是“ 12 / /ll”的 ( ) A.充分不必要条件
3、B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 9. 已知 22 33 3 4 232 () ,() ,log 343 abc, 则, ,a b c的大小关系是( ) A.abc B.bac C.cab D.acb 10. 执行如图所示的程序框图, 输出S的值为 ( ) A.45 B.55 C.66 D.78 11. 三棱锥PABC中, 平面PAC平面ABC,ABAC,2PAPCAC,4AB, 则三 棱锥PABC的外接球的表面积为( ) A.23 B. 23 4 C. 64 3 D.64 12. 已知函数 ln(1),0 ( )1 1,0 2 xx f x xx , 若mn, 且()
4、( )f mf n, 则nm的取值范围为( ) A.32ln 2,2 B.32ln 2,2 C.1,2e D.1,2e 二、填空题 13. 已知向量1,am r ,3, 2b r , 且()abb rr r , 则m_. 14. 数列 n a满足 (1) 2 n n n a, 则 122018 111 aaa L等 于 . 15. 三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”, 用数形结合的方法给出了勾股定理 的详细证明 . 如图所示的“勾股圆方图”中, 四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大 正方形 , 其中一个直角三角形中较小的锐角满足 3 tan 4 , 现向大正方形内随机
5、投掷一枚飞镖, 则飞镖落在小正方形内的概率是_. 16. 设抛物线 2 4xy的焦点为F,A为抛物线上第一象限内一点, 满足2AF, 已知P为抛物线 准线上任一点 , 当PAPF取得最小值时 , PAF的外接圆半径 为 . 三、解答题 17. 已知函数 22 ( )sincos2 3sincos ()f xxxxx x R . 1. 求f( )x的最小正周期; 2. 在ABC中, 角,A B C的对边为, ,a b c, 若()2f A,5c, 1 cos 7 B, 求ABC中线AD的 长. 18. 如图所示五面体ABCDEF, 四边形ACFE是等腰三角形,/ /ADFC, 3 DAC,BC平
6、 面ACFD,1CACBCF,2ADCF ,点G为AC的中点 . 1. 在AD上是否存在一点H, 使/ /GH平面BCD?若存在 , 指出点H的位置并给出证明; 若不存在 , 说明理由 ; 2. 求三棱锥GECD的体积 . 19. 新能源汽车的春天来了!2018 年 3 月 5 日上午 , 李克强总理做政府工作报告时表示,将新能源汽 车车辆购置税优惠政策再延长三年, 自 2018 年 1月 1 日至 2020 年 12 月 31 日, 对购置的新能源汽 车免征车辆购置税.某人计划于2018 年 5 月购买一辆某品牌新能源汽车, 他从当地该品牌销售网站 了解到近五个月实际销量如下表: 月份201
7、7.12 2018.01 2018.02 2018.03 2018.04 月份编号 : t1 2 3 4 5 销量( 万辆) 0.5 0.6 1 1.4 1.7 1. 经分析发现 , 可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量 y ( 万辆 ) 与月份编号t之间 的相关关系 . 请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程 ? ?ybta, 并预测 2018 年 5 月份当地该品 牌新能源汽车的销量; 2.2018 年 6 月 12 日, 中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程( 新能源汽车的最大续 航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程) 对购车补贴进
8、行新 一轮调整 .已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大, 某调研机构对其中的200 名消费者的 购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查, 得到如下一份频数表: 补贴金额预期值区间 ( 万元) 1,22,33,44,55,66,7 频数20?60 。 60 。 3020?10 (i) 求这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值 X的样本方差 2 s及中位数的 估计值 ( 同一区间的预期值可用该区间的中点值代替; 估计值精确到0.1); (ii)将对补贴金额的心理预期值在1,2 ( 万元 ) 和6,7 ( 万元 ) 的消费者分别定义为“欲望紧缩 型”消费者和“欲望膨胀
9、型”消费者, 现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30 名消费者中 随机抽取6 名, 再从这 6 人中随机抽取3 名进行跟踪调查, 求抽出的3 人中至少有1 名“欲望膨胀 型”消费者的概率. 参考公式及数据 : 回归方程 ? ?ybxa, 其中 1 2 2 1 n ii i n i i t ynt y b tnt , aybt ; 5 1 18.8 ii i t y . 20. 在平面直角坐标系xOy中, 点A在x轴上 , 点B在y轴上 , 且2AB, 延长BA至P, 且A为 PB的中点 , 记点P的轨迹为曲线C. 1. 求曲线C的方程 ; 2. 若直线:lykxm与圆O: 22 1xy相切
10、 , 且l与曲线C交于,M N两点 ,Q为曲线C上一 点, 当四边形OMQN为平行四边形时, 求 k 的值 . 21. 已知函数 21 ( )ln() 2 f xxxax aR, 23 ( )e 2 x g xx. 1. 讨论函数f ( )x极值点的个数; 2. 若对0 x, 不等式( )( )f xg x成立 ,求实数a的取值范围 . 22. 以平面直角坐标系的原点O为极点 , 轴x的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 1 C的极坐标方程 为3 cossin (0)aaa, 将曲线 1 C绕极点逆时针旋转 3 后得到曲线 2 C. 1. 求曲线 2 C的极坐标方程 ; 2. 直线l的参数方程为
11、 1 1 2 3 2 xt yt (t为参数 ), 直线l与曲线 2 C相交于,MN两点 , 已知( 1,0)P, 若 2 | |PMPNMN, 求a的值 . 23. 已知函数( )4f xx, 不等式( )8|22|f xx的解集M. 1. 求M; 2. 设,a bM, 证明 :()(2 )( 2 )f abfafb. 参考答案 1. 答案： C 解析： 2. 答案： C 解析： 3. 答案： C 解析： 4. 答案： D 解析： 5. 答案： D 解析： 6. 答案： B 解析： 7. 答案： B 解析： 8. 答案： B 解析： 9. 答案： A 解析： 10. 答案： B 解析： 11
12、. 答案： D 解析： 12. 答案： A 解析： 13. 答案： 8 解析： 14. 答案： 4036 2019 解析： 15. 答案： 1 25 解析： 16. 答案： 5 4 解析： 17. 答案： 1.( )cos23 sin 2f xxx 2sin(2) 6 x 2 2 T 函数f ( )x的最小正周期为. 2. 由 (1) 知( )2sin(2) 6 f xx, 在ABC中( )2fA, sin(2)1 6 A2 62 A, 3 A又 1 cos 7 B, 4 3 sin 7 B, 3114 35 3 sinsin() 272714 CAB, 在ABC中, 由正弦定理 sinsin
13、 ca CA , 得 5 5 33 142 a , 7a, 7 2 BD, 在ABD中, 由余弦定理得 22222771129 2cos5()25 2274 ADABBDABBDB 129 2 AD. 解析： 18. 答案： 1. 存在点H,H为AD中点 . 证明如下 : 连结GH, 在ACD中, 由三角形中位线定理可知/ /GHCD, 又GH平面BCD,CD平面BCD, / /GH平面BCD. 2. 由题意知/ /ADCF,AD平面ADEB,CF平面ADEB, / /CF平面 ADEB, 又CF平面CFEB,平面CFEB平面ADEBBE, / /CFBE, GECDEGCDB GCD VVV
14、, 四边形ACFD是等腰梯形 , 3 DAC, 2 ACD 又1,2CACBCFADCF, 1 3, 2 CDCG, 1 3, 2 CDCG, 又BC平面AFCD, 111113 3 1 3232212 B GCD VCGCDBC. 三棱锥GECD的体积为 3 12 . 解析： 19. 答案： 1. 易知 12345 3 5 t, 0.50.61 1.41.7 1.04 5 y 5 222222 1 1234555 i i t , 55 11 552 2 22 11 ()()5 18.853 1.04 ? 0.32 5553 ()5 iiii ii ii ii ttyyt yt y b ttt
15、t , ? ?1.040.3230.08aybt 则y关于t的线性回归方程为?0.320.08yt, 当6t时,?2.00y, 即 2018 年 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2 万辆 . 2.(i)根据题意 , 这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心里预期值X的平均值x, 样本 方差 2 s及中位数的估计值分别为: 1.5 0.12.5 0.33.5 0.34.5 0.155.5 0.16.5 0.053.5x, 22222 (1.53.5)0.1(2.53.5)0.3(3.53.5)0.3(4.53.5)0.15s 22 (5.53.5)0.1(6.53.5)0.05
16、1.7 中位数的估计值为 10020601 3 133.3 603 . (ii)设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x人, 从“欲望紧缩型”消费者中抽取y人, 由分层抽样的 定义可知 6 301020 xy , 解得2,4xy, 在抽取的6 人中 ,2 名“欲望膨胀型”消费者分别记为 12 ,AA,4 名“欲望紧缩型”消费者分别记为 1234 ,B BBB, 则所有的抽样情况如下: 121122123124112113114123 ,A ABA A BA ABA A BA B BA B BA B BA BB 124134212213214223224234 ,A BBA B BAB BA B BAB BABBABBA BB 123124134234 ,
