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1、数学试卷 一、填空题 1.函数2fxsin x的最小正周期为_ 2.已知集合 2 41 61AaB， ，若 AB，则实数a_ 3.复数 z 满足43zii (i 是虚数单位 )，则 z _ 4.函数 2 y= 1x的定义域是 _ 5.从 1 2 3 4 5， ，这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为 _ 6.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法 ,最后输出的S的值为 _. 7.已知数列na满足 212 1 nn log alog a ，则 53 31 aa aa _ 8.若抛物线 2 20ypx p的准线与双曲线 22 1xy 的一条准线重合，则p _ 9.如图，在直三棱柱 111
2、 ABCA BC 中， M 为棱 1 AA 的中点，记三棱锥 1 A MBC 的体积为 1 V ，四棱锥 111 ABBC C 的体积为 2 V ，则 1 2 V V 的值是 _ 10.已知函数 42 24fxxx，若()()31f af a，则实数a 的取值范围为 _ 11.在平面直角坐标系xOy 中，过圆 22 1( )(41)Cxkyk： 上任一点P作圆 22 2 1Cxy： 的一条 切线，切点为Q，则当线段PQ 的长最小时，k_ 12.已知 P为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足20PAPBPD rrr ， 0PAPBPC rrr ，则 _ 13.已知函数 3 3 3 2 ,
3、 ( ) 34 , xx a xa f x xxa xa 若存在 0 0 x ，使得 0 0fx ，则实数a 的取值范围是 _ 14.在ABC中，已知 2 (sin sin sinsi)nABCC，其中 1 tan0 22 ，若 112 tantantanABC 为定值，则实数_ 二、解答题 15.已知向量 1 (sin,1),cos 2 axbx ，其中0()x， (1) 若/ /ab ，求 x的值； (2) 若2tanx，求 |ab的值 16.如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点， EF，分别为 棱 PCPD，的中点，已知.PAABPAAD，求
4、证： (1) 直线/ /PB平面 OEF ； (2) 平面 OEF平面.ABCD 17.如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB的中点，现欲在线段OQ 上找一 处开挖工作坑P(不与点 O，Q 重合 )，为小区铺设三条地下电缆管线POPAPB，已知2OA千 米，AOB= 3 ，记APQrad ，地下电缆管线的总长度为y 千米 (1) 将 y 表示成的函数，并写出的范围； (2) 请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小 18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 22 22 C:=1(ab0) xy ab 的左顶点为AB，是椭圆 C 上异于 左、右顶点的任意一点，P
5、是AB的中点，过点B 且与AB垂直的直线与直线OP 交于点 Q，已知 椭圆 C 的离心率为 1 2 ，点 A 到右准线的距离为6. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 设点 Q 的横坐标为 0 x ，求 0 x 的取值范围 19.设 AB，为函数 yfx图象上相异两点，且点AB，的横坐标互为倒数，过点AB，分别作函数 yfx的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数fx 的“优点” (1) 若函数 2 ln ,01 ( ) ,1 xx f x axx 不存在“优点”，求实数a的值； (2) 求函数 2 fxx的“优点”的横坐标的取值范围； (3) 求证：函数fxlnx的“优点”一定
6、落在第一象限 20.已知首项不为0 的数列 na的前 n 项和为123 2 n Saaa， ，且对任意的2nNn，都有 111 ()225. nnn nSnSSra (1) 若 213aa，求 r 的值； (2) 数列 n a能否是等比数列？说明理由； (3) 当1r时，求证：数列na是等差数列 21. 已知矩阵 1 2 5 2 M x 的一个特征值为2，向量 4 16 a，求Ma 22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 1 2 1 2 xt yt (t 为参数 )，曲线 C 的参数方程为 12 2 xcos ysin ( 为参数 )若直线l 与曲线 C 相交于 A，B 两
7、点，求线段AB的长 23.设正数 abc， ，满足 321abc ，求 111 aabbc 的最小值 24.如图，在正四棱柱 1111 ABCDA B C D 中， 1 31.AAAB ， (1) 求异面直线 1 A B 与1AC 所成角的余弦值； (2) 求平面 1 ABC 与平面 1 AC D 所成二面角的正弦值 25.已知函数121 01|fxxx，设 11nn fxffx ，其中 1 fxfx，方程 0 nfx 和方程1nfx 根的个数分别为01nngg， (1) 求 2 1g的值； (2) 证明：011. nn gg 参考答案 1.答案： 解析： 2.答案：4 解析： 3.答案： 5
8、 解析： 4.答案： 11 ， 解析： 5.答案： 1 5 解析： 6.答案： 8 解析：代入程序前 1 1 I S 符合6I, 第一次代入后 3 2 I S ,符合6I,继续代入； 第二次代入后 5 4 I S ,符合6I,继续代入 ; 第三次代入后 7 8 I S ,不符合6I,输出结果8S, 故最后输出S的值为8. 7.答案： 4 解析： 8.答案：2 解析： 9.答案： 1 4 解析： 10.答案： ()1， 解析： 11.答案： 2 解析： 12.答案： 3 4 解析： 13.答案： 10) ， 解析： 14.答案： 5 10 解析： 15.答案： (1) 因为/ /ab ， 所以
9、sin xcos x 1 2，即 21.sin x 因为0()x，所以 4 x (2) 因为 sin tan-2 cos x x x ， 所以2.sinxcosx 因为 1 a+b=,1 2 sinxcosx ， 所以 2 2193 |sin(1cos )sin2cos 242 axbxxx 解析： 16.答案： (1) O 为BD的中点， F为PD的中点， 所以/ /.PBFO 因为 PB平面 OEF ， FO平面 OEF ， 所以/ /PB平面.OEF (2) 连结 AC ，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以 AC 与BD交于点 O，O 为 AC 的中点 因为 E 为PC的中点， 所
10、以/ /PAOE . 因为 PAABPAADABADAABAD， ，平面 ABCD ， 所以PA平面 ABCD ， 解析： 17. 答案： (1) 因为 Q为弧AB的中点，由对称性，知 6 PAPBAOPBOP， 又, 6 APOOAP， 由正弦定理，得sin()2 66 OA OA ，又 ， 所以 1 ,6PAOP sin ， 所以26sin3si)nc(os2yPAPBOPPAOP ， 因为APQAOP， 所以() 15 , 62612 OAQOQA， 所以 5 12 (2) 令( 5 32 2 ) 1 ,fsinsincos， )0, 3 (212fsincos得， f在区间 3 上单调
11、递减，在区间( 5 (,) 312 上单调递增， 所以当 3 ，即 3 3 OP千米时，f有唯一的极小值，即是最小值，则 2. min f 答：当工作坑P与 O的距离为 3 3 千米时，地下电缆管线的总长度最小 解析： 18.答案： (1) 依题意，得 2 1 2 6 c a a a c 解得 2 1 a c 所以 22 b=3ac 所以椭圆 C 的方程为 22 =1 43 xy . (2) 由(1)知，()2 0A ， ，设20ABxmym： ， 联立 22 2 3412 xmy xy 解得 2 2 2 68 34 12 34 m x m m y m 或 2x y 即 2 22 6812 B
12、(,) 34 34 mm mm 则 22 86 (,) 34 34 m P mm ， 所以 33 -,:-. 44 mm kOPOPyx 因为 ABBQ ，所以 BQ km，所以直线BQ 的方程为 3 2 64 :- 34 mm BQ ymx m ， 联立 3 2 3 4 64 34 m yx mm ymx m 得 2 22 8(32)16 x=8-(4,8) 3434 m mm 解析： 19.答案： (1) 由题意可知， 1 ( )fx f x 对()()011x，恒成立， 不妨取) 1(0 x， ，则 121 ( ) a fxf xxx 恒成立，即 1 a= 2 经验证， 1 a=2符合题
13、意 (2) 设 2 2 11 A(t,t),B,(t0,t1) tt ， 因为 2fxx， 所以 A，B 两点处的切线方程分别为 2 2 21 y=2tx-t ,y=x- tt ， 令 2 2 21 2tx-tx- tt ，解得 11 (-,-1)(1,) 2 xt t ， 所以 “ 优点 ” 的横坐标取值范围为()1(1， (3)设 1 A(t,lnt),b,t(0,1)lnt t 因为 1 ( )fx x ， 所以AB，两点处的切线方程分别为 1 y= x+lnt-1,y=tx-lnt-1 t ， 令 1 ln -1-ln -1xttxt t ， 解得 2ln 0 1 t x t t ，
14、所以 22 22 1 211 ylnt-1(lnt-) 1 11 lnttt ttt t t ， 设 2 2 1 h(m)=lnm-m(0,1) 1 m m ， 则 22 22 (1) ()0 (1) m hm m m ， 所以 hm单调递增， 所以 10hmh， 即 2 2 1 ln-0 1 t t t . 因为 2 2 10 1 lnt t t t 所以 “ 优点 ” 的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限 解析： 20.答案： (1)令2n，得 3211 49SSSra， 即 3212111 ()()49aaaaaara， 化简，得 3211 454.aaara 因为 12321 23aa
15、aaa， 所以 1111 45534aaara， 解得1.r (2) 假设数列na是等比数列，公比为q，则由 123 2aaa得 2 1112aa qa q，且 1 0a，解得2q 或1q， 由 111 ()225 nnn nSnSSra ， 得 11 422 nnn Snaaran ， 所以 111 )213(4 nnn Snaaran ，两式相减，整理得 11 2()23 nnn naana ， 两边同除以 1n a，可得 2 23()1n qqq . 因为2q或1， 所以 2 0qq， 所以上式不可能对任意3n恒成立， 故数列 na不可能是等比数列 (3)1r 时，令2n， 整理得 12
16、31 454aaaa， 又由 123 2aaa可知 2131 35aaaa， 令3n ，可得 4321611SSSa， 解得 41 7aa， 由(2)可知 11 422 nnn Snaaan ， 所以 111 (423) 1 nnn Snaaan ， 两式相减，整理得 112(2)33nnnnaanan ， 所以 212()(12)14nnnnaanan ， 两式相减，可得 11112 ()()()()24 nnnnnnnn n aaaaaaaan 因为 4332()()0aaaa， 所以 112()(04)nnnnaaaan ， 即 1124nnnnaaaan ， 又因为 32211 2aaaaa， 所以数列 na是以 1 a 为首项， 1 2a 为
