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1、数学试卷 _ 一、选择题 1、复数（） ABCD 2、“ ”是“函数为奇函数”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3. 执行如图所示的程序框图, 输出的值为 ( ) A.1 B.-1 C.-2 D.0 4. 已知函数lnfxx, 则函数g xfxfx的零点所在的区间是( ) A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4 5. 5 2 2 1 (2)1x x 的展开式的常数项是( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 6、如图 , 边长为 1 的正方形的顶点, 分别在轴、轴正半轴上移动, 则 的最大值是 ( ) A. B. C.D.4 7、
2、已知椭圆的离心率为. 双曲线的渐 近线与椭圆有四个交点 , 以这四个交点为顶点的四边形的面积为, 则椭圆的方程为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题 8、在如图所示的茎叶图中, 乙组数据的中位数是; 若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大 数和一个最小数后,两组数据的平均数中较大的一组是组. 9、一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积与体积分别为_. 10、如图 , 为 的直径 , , 弦交于点. 若, , 则_. 11. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系已知抛物线C的极 坐标方程为 2 cos4sin0，直线l的参数方程为 3 1 xt yt
3、(t为参数 ) 设直线l与抛 物线C的两个交点为 A、B，点F为抛物线C的焦点，则AFBF 的值为 _ 12. 已知函数 2 ( )( ,)f xxaxb a bR的值域为0, ?, 若关于x的不等式( )fxc的解集为 (,6)m m, 则实数c的值为 _. 13、已知函数的图像与函数的图像没有公共点, 则实数的取值范围是 _. 三、解答题 14、已知函数. ( ) 求的定义域及最小正周期; ( ) 求 在区间上的最值 . 15、抽签方式决定出场顺序. 通过预赛 , 选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. ( ) 求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; ( ) 若决赛中甲队和乙队之间间隔的队
4、伍数记为, 求的分布列和数学期望. 16、在长方体中, , , 为中点.( ) 证明 : ;( ) 求与平面所成角的正弦值 ;( ) 在棱上是否存在一点, 使得 平面?若存在 , 求的长 ; 若不存在 , 说明理由 . 17、设数列的前项和为. 已知, , . ( ) 求数列的通项公式 ;( ) 记为数列的前项和 , 求. 18、已知椭圆的离心率为, 直线过点, , 且与椭 圆相切于点.( ) 求椭圆的方程 ;( ) 是否存在过点的直线与椭圆相交 于不同的两点、, 使得?若存在 , 试求出直线的方程 ; 若不存 在, 请说明理由 . 19、已知函数在处取得极值 . (1) 求实数的值 ; (2
5、) 若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根, 求实数的取值 范围 ; (3) 证明 : 对任意的正整数, 不等式都成立 . 参考答案 答案：1、 解析：根据复数乘法运算计算得：，故选 A. 考点：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意. 答案：2、 解析：试题分析 : 当, , 所以为奇函数 , 所以”是“函数 为奇函数的充分条件, 当为奇函数 , 则, 所以, 所以, 所以, 所以. 即不一 定为 0, 故不是必要条件. 选 A. 点评 : 本题考查判断一个条件是另一个条件的什么条件, 应该两边互相推一下, 然后利用充要条件的 有关定义进行判断即可 3. 答案： D 解析：
6、0T,11ST,01ST,10ST,11ST,0S. 4. 答案： B 解析：函数fx的导数为 1 fx x , 所以 1 lng xfxfxx x . 因为 1ln1110g, 1 2ln 20 2 g, 所以函数g xfxfx的零点所在的区间 为1,2. 故选 B. 5.答案： D 解析： 5 2 1 1 x 展开式中 2 1 x 的系数为 44 5( 1) 5C,常数项的系数为 5 ( 1)( 1),所以 5 2 2 1 (2)1x x 展开式的常数项是523 ,故选 D. 答案：6、 解析：试题分析 : 如图令, 由于故, , 如图,AB=1, 故, , 故, 同理可求得, 所以, 所
7、以的最大值为2. 点评 :本题考查向量在几何中的应用, 设角引入坐标是解题的关键, 由于向量的运算与坐标关系密切, 所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标, 属于中档题 答案：7、 解析：方法一 : 因为椭圆的离心率为, 所以, 所以, 即, 双曲线的渐近线为, 代入椭圆得, 即, 所以, 所以, 则在第一象限的交点坐标为, 所以四边形的面积为, 所以, 所以椭圆方程为, 故选 D. 方法二 : 因为椭圆的离心率为, 所以, 即, 所以. 双曲线的渐近线为, 由椭圆的对称性及双曲线渐近线方程知该四边形为正方形, 设第一象 限交点为, 则, 所以. 把代入, 得, 故椭圆方程为. 答案：8
8、、 解析：对乙组数据按从小到大的顺序排列后中间的那个数即是中位数, 本小题的应为84. , 显然乙组数据的平均数大. 答案：9、 解析：试题分析 : 由三视图知几何体是一个四棱柱, 四棱柱的底面是一个直角梯形, 梯形的上底是1, 下底是 2, 高是 1, 梯形的面积是, 四棱柱的体积是. 表面积为. 点评 : 本题考查有三视图还原几何体, 本题是一个基础题, 解题的过程中看清各个部分的数据, 代入 求体积公式得到结果. 答案：10、 解析：试题分析 : 因为为 的直径 , , 弦交于点. 所以, 设, 因为, 所以, 所以, 即 点评 : 本题考查与圆有关的比例线段的应用, 是基础题 . 解题
9、时要认真审题, 注意勾股定理和相交弦 定理的灵活运用. 11. 答案： 16 3 解析：抛物线C的直角坐标方程为 2 4xy，直线l的方程为31xy， 设 11 ,A x y、 22 ,B xy， 则由 2 4 31 xy xy 解得 12 10 3 yy，又直线过抛物线的焦点0,1F， 所以 12 1016 112 33 AFBFyy. 12. 答案： 9 解析： 2 ( )f xxax b的值域为 0, ?， 2 0 4 a b， 2 22 11 42 fxxaxaxa 又 ( )fxc的解集为(,6)m m ，6mma， 1 3 2 ma， 2 2 111 339 224 cfmaaaa
10、 ，其图像如下图 答案：13、 解析： 试题分析 : , 作出函数图像可知, ,( 其中刚好有一个 交点时 , , 故不取等号 ). 点评 : 本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系, 其中画出函数的图象, 并利用图象分析出满 足条件时参数的范围是解答的关键. 答案：14、 解析：试题分析 :( ) 由得( Z), 故的定义域为R Z 因为 , 所以的最小正周期. (II)由 当, 当. 点评 : 本题考查三角函数的运算. 考查的知识点有和差化积、周期与三角函数值域的求法、 分类讨论的思想方法. 近几年三角运算一直是考试所要求的基本题型之一, 本题就是基于这 一要求而制定的. 答案：15、
11、 解析：试题分析 :( ) 设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件, 则 . 所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为. ( ) 随机变量的可能取值为. , , , . 随机变量的分布列为 : 因为, 所以随机变量的数学期望为. 点评 : 本题考查等可能事件概率的计算, 关键是根据题意, 正确列举基本事件空间, 得到其包含基本 事件的数目 . 答案：16、 解析：试题分析 :( ) 证明 : 连接 是长方体 , 平面, 又平面 在长方形中 , 又 平面, 而平面 ( ) 如图建立空间直角坐标系, 则 , 设平面的法向量为, 则令, 则 , 所以与平面所成角的正弦值为 ( ) 假设在棱上存在一
12、点, 使得平面. 设的坐标为, 则因为平面 所以, 即, , 解得, 所以在棱上存在一点, 使得平面, 此时的长. 点评 : 本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识, 考查数形结合、化 归与转化的数学思想方法, 以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 答案：17、 解析：试题分析 :( ) 由题意, , 则当时, . 两式相减 ,得( ). 又因为, , , 所以数列是以首项为, 公比为的等比数列 , 所以数列的通项公式是( ). ( ) 因为, 所以, 两式相减得 , , 整理得 , ( ). 点评 : 本题考查数列的通项与求和, 考查错位相减法, 考查学生的
13、计算能力, 属于基础题 . 答案：18、 解析：试题分析 :( ) 由题得过两点, 直线的方程为. 因为, 所以, . 设椭圆方程为, 由消去得, . 又因为直线与椭圆相切 , 所以 , 解得。所以椭圆方程为 已知直线的斜率存在 , 设直线的方程为. 由消去, 整理得. 由题意知, 解得 设, , 则. 又直线与椭圆相切 , 由解得,所以 则. 所以. 又 所以, 解得. 经检验成立 . 所以直线的方程为. 点评 : 本题考查椭圆方程的求法, 探索直线方程是否存在. 综合性强 , 难度大 , 是高考的重点 , 解题时 要认真审题 , 仔细解答 , 注意合理地进行等价转化. 答案：19、 解析：
14、试题分析 :(1) 时, 取得极值 , 故解得经检验符合题意 . (2) 由知由, 得 令则在区间上恰有两个不同的实数根等 价于在区间上恰有两个不同的实数 根. 当时, , 于是在上单调递增 ; 当时, , 于是在上单调递减 . 依题意有, 解得 , (3) 的定义域为, 由 (1) 知, 令得 , 或( 舍去 ), 当时, , 单调递 增; 当时, , 单调递减 . 为在上的最大 值. , 故( 当且仅当时, 等号成立 ) 对任意正整数, 取得 , 故. ( 方法二 ) 数学归纳法证明: 当时, 左边, 右边, 显然, 不等式成立 . 假设时, 成立 , 则时, 有. 做差比较 : 构建函数, 则, 单调递减 , . 取, 即, 亦即, 故时, 有, 不等式成 立., 综上可知 , 对任意的正整数, 不等式都成立 . 点评 : 考查学生利用导数研究函数极值的能力, 注意函数与方程的综合运用, 以及会进行不 等式的证明 .
