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1、数学试卷 一、选择题 1. 已知集合 2 log,3 ,AaBa b若0 ,AB则AB ( ) A.0,3 B.0,1,3 C.0,2,3 D.0,1,2,3 2. 如图所示 , 阴影部分表示的集合是( ) A.() U C BA B. U C AB C. U CAB D. U CAB 3. 某商场 2014 年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势, 下列函数模型中能较准确反 映该商场月销售额( )f x与x月份关系的是( ) A.(0, x fxa bb且1)b B.log(0, a fxxb a且1)a C. 2 fxxaxb D. a fxb x 4. 下列说法正确的是( ) A
2、.命题“,20 x xR”的否定是“ 0 0 ,20 x xR” B.命题“若sinsin,xy则xy”的逆否命题为真命题 C.若命题,pq都是真命题 , 则命题“pq”为真命题 D.命题“若ABC为锐角三角形 , 则有sincosAB”是真命题 5. 函数 2 1 x y e 在点0,1处切线的斜率为( ) A.2 B.2 C. 1 2 D. 1 2 6.已知实数a,b 满足23 a ,32 b ,则 x fxaxb的零点所在的区间是( ) A. 2, 1B. 1,0C. 0,1D. 1,2 7. 在ABC中, 若 41 cos,tan, 52 AAB则tanB ( ) A. 1 2 B.
3、1 3 C.2 D.3 8. 函数 2 sin6 2 41 x x x 的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 9. 若 2 2 log,ax b x , 则“ab”是“1x”的 ( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 10. 定义在 R上的奇函数( )f x , 当0 x时, 1 3 2 log1 ,0,2 1 47,2, 2 xx fx xxx , 则关于x的方程 01fxaa的所有根之和为( ) A.31 a B.13 a C.31 a D.1 3 a 二、填空题 11. 函数cos2 3 yx 的最小正周期为_. 12. 函数 93
4、 lg1 x y x 的定义域为 _. 13. 已知等差数列 n a满足 2435 4,10aaaa, 则它的前10 项和 10 S_. 14. 已知向量(2,1)a,向量3,bk, 且a在b方向上的投影为2, 则实数k的值为 _. 15. 定义在R上的函数fx满足11f, 且对任意xR都有 1 2 fx, 则不等式 3 3 1 2 x fx的解集为 _. 三、解答题 16. 已知向量sin2,cos,sin,cos,mn其中R. 1. 若mn, 求角; 2. 若2,mn求cos2的值 . 17. 在用“五点法”画函数sin0, 2 fxAx 在某一周期内的图象时, 列表并 填入了部分数据,
5、如下表 : x 0 2 3 2 2 x 5 2 sin()Ax 0330 1. 请将上表空格中处所缺的数据填写在表中的相应位置上, 并直接写出函数fx的解析式 ; 2. 将yfx图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 3 , 再将所得图象向左平移 4 个单位 , 得到 yg x的图象 , 求g x的单调递增区间. 18. 数列 na 的前n项和 n S满足 1 2 nn Saa, 且 123 ,1,a aa成等差数列 . 1. 求数列 n a的通项公式 ; 2. 设 1 1 n n nn a b S S ,求数列 nb 的前n项和 n T. 19. 在ABC中 , 内角,A B C的对边分别为,
6、 ,a b c,2CA, 且, ,a b c成公差为 1的等差数列 . 1. 求a的值 ; 2. 求sin(2) 6 A的值 . 20. 某市政府欲在如图所示的直角梯形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园( 如图中阴 影部分 ), 形状为直角梯形DEFG ( 线段ED和FG为两条底边 ), 已知224BCABADkm, 其中曲线AC是以A为顶点 ,AD为对称轴的抛物线的一部分. 1. 求曲线AC与CD,AD所围成区域的面积; 2. 求该公园的最大面积. 21. 已知函数 3 2 ln1 3 x fxaxxax aR. 1. 若2x为( )f x的极值点 , 求实数a的值 ; 2. 若(
7、 )yf x在4,)上为增函数 , 求实数a的取值范围 ; 3. 当1a时, 方程 3 1 1 3 xb fx x 有实根 ,求实数b的最大值 . 参考答案 1. 答案： B 解析： 2. 答案： A 解析：因为利用集合的运算集合阴影部分可知() U C BA即为所求 , 选 A 3. 答案： C 解析： 4. 答案： D 解析： 5. 答案： C 解析： 6.答案： B 解析：因为 23 a ,3 2 b 所以 1a01b ,又 x fxaxb ,所以 fx 在R上单调递 增,又 1 110fb a , 010fb ,从而由零点存在性定理可知 fx 在区间 1,0 上存在零点 .故选 B.
8、7. 答案： C 解析： 8. 答案： D 解析：本题考查函数的图象与性质. 依题意得 2 cos6 41 x x x y , 2cos62cos62 cos6 414141 x xx xxx xxx 因此函数 2 cos6 41 x x x y 是奇函数 , 其图象关于原点对称, 故排除 A选项 ; 当0 12 x时, 2 cos6 0 41 x x x y , 因此排除B选项 ; 当x时, 2 cos6 0 41 x x x y , 故选 D. 9. 答案： A 解析： 10. 答案： D 解析： 11. 答案： 解析： 12. 答案：( 1,0)(0,2) 解析： 13. 答案： 95
9、解析： 14. 答案： 0 或 4 解析： 15. 答案：(,1) 解析： 16. 答案： 1. mn, 0m n. 2 (sin2)(sin)()cos0cos 22 sin2sin0cos 解得 1 sin 2 , 则2, 6 k或 5 2,. 6 kkZ 2.(2sin2, 2cos),mn 由 2mn , 得 22 (2sin2)( 2cos)2, 22 4sin8sin44cos2, 解得 3 sin, 4 2 91 cos212sin1 88 解析： 17. 答案： 1. x 0 2 3 2 2 x 4 7 4 5 2 13 4 sin()Ax 03030 2 ( )3sin().
10、 36 f xx 2. 由题意得( )3sin2()3sin(2) 463 g xxx. 由222, 232 kxk得 5 ,. 1212 kxkkZ 即函数( )g x的单调增区间为 5 ,. 1212 kkkZ 解析： 18. 答案： 1. 由已知 1 2, nn Saa有 11 22(2) nnnnn aSSaan 1 2(2) nn aan 从而 21321 2,24aa aaa 又 123 ,1,a aa成等差数列 , 即 132 2(1),aaa 111 42(21),aaa 解得 1 2,a na 是首项为2, 公比为2的等比数列 , 则2 . n n a 2. 12(12 )
11、22, 12 n n n S 又 1 111 111 nnn n nnnnnn aSS b S SS SSS 12nn TbbbL 12231 111111 ()()() nn SSSSSS L 11 11 n SS 2 11 222 n 解析： 19. 答案： 1. 由正弦定理知, sinsin ac AC 2CA, , sinsin 2 ac AA , sin2sincos ac AAA 得cos, 2 c A a 由题意知 ,1,2,baca 则 222222 (1)(2)5 cos 22(1)(2)2(2) bcaaaaa A bcaaa 552 , 2(2)22(2)2 acaa a
12、aaa 解得4a. 2. 4a, 6,c 3 cos, 24 c A a 则 27 sin1cos 4 AA, 3 7 sin22sincos 8 AAA 2 1 cos22cos1 8 AA sin(2)sin 2coscos2sin 666 AAA 3 7311 8282 3 211 . 16 解析： 20. 答案： 1. 以A为原点 ,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系, 设曲线AC所在的抛物线的 方程为 2 (0)yaxa 抛物线过点(2,4),C 2 42 ,a得1a, AC所在抛物线的方程为 2 ,yx (2,4),(0,2),CD CD所在方程为2,yx 曲线AC与CD,AD
13、所围成的区域的面积为 2 2 1 0 (2)Sxxdx 2 0 1110 (223)| 233 xxx. 2. 由 1 知CD方程为2,yx 设 2 ( ,)(02)F x xx则 2 (0,),( ,2),ExG x x 22 2,2,EDxFGxx 公园面积 22 2 1 (22) 2 Sxxxx 21 (42) 2 xxx 231 (42) 2 xx 2 2 1 (426) 2 Sxx 2 23xx 令 2 0S得1x,或 2 3 x ( 舍去 ). 当x变化时 , 2 S和 2 S的变化如下表 : x (0,1) 1 (1,2) 2 S 0 2 S递增 极大值 3 2 递减 当1x时
14、, 2 S取最大值 3 , 2 即该公园的最大面积为 23 . 2 km 解析： 21. 答案： 1. 2 ( )2 1 a fxxxa ax , 2x为( )f x的极值点 , (2)0f, 即440, 21 a a a 解得0.a 2. 函数( )f x在4,)上为增函数 . 2 ( )2 1 a fxxxa ax 22 (12 )(2) 0 1 x axa xa ax 在4,)上恒成立 , 当0a时,( )(2)0fxx x在4,)上恒成立 , ( )f x在4,)上为增函数 , 故0a, 符合题意 当0a时, 由函数( )f x的定义域可知,必须有10ax对4x恒成立 , 故只能0a,
15、 22 (12 )(2)0axa xa在4,)上恒成立 . 令 22 ( )(12 )(2)g xaxa xa对其称轴为 1 1, 2 x a 0a, 1 11, 2a 要使( )0g x在4,)上恒成立 . 只要(4)0g即可 , 2 (4)164(12 )(2)0gaaa 即 2 820,aa 解得43 243 2,a又0a, 043 2.a 综上 ,a的取值范围是0,43 2. 3. 当1a时, 方程 3 (1) (1) xb fx xx 化为 2 ln(1)(1), b xxx x 可转化为 223 ln(1)(1)lnbxxxxxxxxxx在(0,)上有解 , 即求 23 ( )ln(0)h xxxxxx的值域 , 2 ( )(ln)h xxxxx令 2 ( )ln(0),xxxxx 则 1(21)(1) ( )12, xx xx xx 当01x时,( )0 x, 从而( )x在(0,1)上是增函数 , 当1x时 ,( )0,x从而( )x在(1,)上是减函数 , ( )(1)0,x 而0 x( )0bxx. 因此 , 当1x时,b取得最大值为0. 解析：
