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1、数学试卷 一、选择题 1、已知, 则（） ABCD 2、下列对函数的性质描述正确的是( ) A、偶函数 ,先减后增 B、偶函数 ,先增后减 C、奇函数 ,减函数 D、偶函数 ,减函数 3. 下列选项叙述错误的是( ) A.命题“若1x, 则 2 320 xx”的逆否命题是“若 2 320 xx, 则1x” B.若p q为真命题 , 则p,q均为真命题 C.若命题 2 :,10pxR xx, 则 2 :,10pxR xx D.“2x”是“ 2 320 xx”的充分不必要条件 4. 为了得到函数sin 2 3 yx 的图像 , 可由函数sin 2yx的图像怎样平移得到( ) A.向右平移 6 B.
2、向左平移 6 C.向右平移 3 D. 向左平移 3 5. 函数lnsin0yxx的大致图象是( ) A. B. C. D. 6、函数的值域为（） ABCD 7、如图为的图象的一段，则其解析式为( ) Ay=sinBy=sin Cy=sinDy=sin 8、已知定义在上的函数满足下列三个条件 : 对于任意的都有 ; 对于任意的; 函数的图象关 于 y 轴对称 , 则下列结论正确的是( ) A.B. C.D. 9、已知函数在处取得极大值, 则的值为 ( ) A. B.-C.-2 或一 D.不存在 10、已知函数满足且若对于任意的总有 成立 ,则在内的可能值有 ( ) 个 A.1 B.2 C.3 D
3、.4 二、填空题 11、计算定积分。 12、曲线在点处的切线与直线垂直 , 则直线的斜率为 _ ; 13、已知、分别为 的三个内角、所对的边 , 若, , ,则边; 14、已知为实数 , 定义运算若关于的方程恰有两 个实根 , 则实数的取值范围是; 15、已知正三角形的边长为, 点分别是边上的动点 , 且满足点关于直 线的对称点在边上, 则的最小值为. 三、解答题 16、已知向量, , 且 求的值 ; 求的值 . 17、已知函数, . 求函数的最小正周期; 若函数的图像和的图像关于直线对称 , 求在上的 最大值和最小值. 18、设 的内角的对边分别为, 且. 若 的面积等于, 求; 若, 求
4、的面积 . 19、已知函数在(1,2)上是增函数 , 在(0,1) 上是减函数。 求的值 ; 当时, 若在内恒成立 ,求实数的取值范围 ; 求证 : 方程在内有唯一解 . 四、计算题 20. 设 32 ( )1f xxaxbx的导数( )fx满足(1)2fa,(2)fb, 其中常数a,bR。 1. 求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程 ; 2. 设( )( ) x g xfx g, 求函数( )g x的极值。 参考答案 答案：1、 解析：因为， ， 所以，选 D。 考点：集合的运算，函数的定义域、值域，不等式解法。 点评：小综合题，为进行集合的运算，首先明确集合中的元素。 答案：
5、2、 解析：试题分析 : 是偶函数 , 图象关于y 轴对称 , 而在(0,+ ) 是减函数, 所以 , 在(- .0) 是增函数 , 故选 B。 考点 : 幂函数的性质。 点评 : 简单题 , 结合图象 , 根据对幂函数性质的认识, 做出选择。 3. 答案： B 解析：对于A选项 ,根据逆否命题的定义知, 命题“若1x, 则 2 320 xx”的逆否命题是“若 2 320 xx, 则1x” , 所以 A选项正确 ; 对于 B选项 , 若p q为真命题 , 则p,q至少有一个为真命题 , 所以 B选项错误 ; 对于 C选项 , 根据含有量词的命题的否定可知p:xR, 2 10 xx , 所以 C
6、选项正确 ; 对于 D选项 , 由 2 320 xx得2x或1x, 所以“2x”是“ 2 320 xx”的充分不必 要条件 , 所以 D选项正确 . 综上所述 , 答案应选B. 4. 答案： A 解析：因为sin2sin 2 36 yxx , 所以sin 2yx的图象向右平移 6 即得到 sin2 3 yx 的图像 . 5. 答案： C 解析：因为0 x时,0sin1x, 且正弦函数的图象先升后降, 由复合函数的单调性知, lnsin0yxx的图象应是先升后降, 故选 C。 点评 : 简单题 , 通过研究复合函数的单调性等, 明确函数图象的大致形态。 答案：6、 解析：当为第一象限角时，所以
7、； 当为第二象限角时，所以 ； 当为第三象限角时，所以 ； 当为第四象限角时，所以 ； 考点：三角函数的符号 答案：7、 解析：观察图象可知，A= ，=2，将 M （）代入 得，所以，取， 故 y= sin ，故选 B。 考点：正弦型函数的图象和性质。 点评：简单题，利用函数图象求函数的解析式，一般方法是，观察图象求A，T，代入点的坐标求 。 答案：8、 解析：试题分析 : 由三个条件知函数的周期是4, 在区间 0,2上是增函数且其对称轴为x=2, f(5)=f(1),f(15.5)=f(3.5)=f(2+1.5)=f(2-1.5)=f(0.5), f(6.5)=f(2.5)=f(2+0.5)
8、=f(2-0.5)=f(1.5), 00.511.52, 函数y=f(x)在区间 0,2上是增函数 , f(0.5) 点评 : 中档题 , 本题综合性较强, 主要考查函数的周期性, 以及利用函数的周期性、单调 性、对称性进行比较函数值的大小。 答案：9、 解析：试题分析 : , f (x)=3x 2+2ax+b, 又在 x=1 处取得极大值10, f (1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a 2-7a=10, a 2+8a+12=0, a=-2,b=1 或 a=-6,b=9. 当 a=-2,b=1 时,f (x)=3x 2-4x+1=(3x-1)(x-1), 当1 时,f (x)0,
9、 f(x) 在 x=1 处取得极小值, 与题意不符 ; 当 a=-6,b=9 时,f (x)=3x 2-12x+9=3(x-1)(x-3), 当 x0, 当 f(x) 在 x=1 处取得极大值, 符合题意 ; =- , 故选 B。 点评 : 中档题 , 函数的极值点处的导数值为0. 本题解答中 ,a,b有两组解 , 注意检验验证,合理取舍。 答案：10、 解析：试题分析 : 0 当 0 f(3)=2f(2)=4a, f(4)=2f(3)=8a, 此时 f(4)=f(1)不成立 ; 当 1/4 f(3)=2f(2)=4a, f(4)=f(3)-1/f(3)=4a-1 /4a, 此时 f(4)=f
10、(1)? 4a-1 /4a=a ? a=1/2; 当 1/2 f(3 )=f(2)-1/f(2)=(2a-1)/2a 1/2, f(4)=2f(3)=(2a-1)/a, 此时 f(4)=f(1)? (2a-1)/a=a? a=1; 综上所述 ,当 n=1 时, 有 f(n+3)=f(n)成立时 , 则 a 在(0,1 内的可能值有两个. 故选 B。 点评 : 中档题 , 本题综合考查分段函数的概念、函数等式恒成立问题、方程式的解法等基础知识, 考 查运算求解能力, 考查分类讨论思想、化归与转化思想. 是一道不错的题目。 答案：11、 解析：试题分析 : = 。 点评 : 简单题 , 准确求得原
11、函数是解题的关键。 答案：12、 解析：试题分析 : 因为 , , 所以 , , 切线的斜率为2, 故直线 的斜率为。 点评 : 小综合题 , 切线的斜率等于在切点的导函数值。两直线垂直, 斜率乘积为 -1, 或一直线斜率不 存在 , 另一直线的斜率为0. 答案：13、 解析：试题分析 : 因为 , , , , 所以 , 由余弦定理得 , 即, , 解得 , 。 点评 : 中档题 , 利用余弦定理, 建立边 c 的方程 , 进一步求解 , 注意避免失解。 答案：14、 解析：试题分析 : 由知 , , 关于的方程 恰有两个实根, 即函数与 y=k 恰有两个交点 , 结合函数的图 象知 , 实数
12、的取值范围是0k1。 点评 : 中档题 , 关键是理解新定义, 利用数形结合法, 通过研究函数的图象的交点情况, 明确参数的范 围。 答案：15、 解析：试题分析 : 设点关于直线的对称点为, B=x, 由对称性 设D=AD=t,则 BD=2-t, 在 B D中应用余弦定理, 得 , t2=(2 - t)2+x2 -2(2- t)xcos60 化简得 ,t= , 当且仅当时, 的最小值为。 点评 : 中档题 , 本题综合性较强, 首先需要利用对称性, 确定三角形中的边长关系, 利用余弦定理确定 函数式 , 应用均值定理求解。应用均值定理, 要注意“一正 , 二定 , 三相等” , 缺一不可。
13、答案：16、 解析： 试题分析 :(1) 得, 即 与联立得. . (2) 由得, 点评 : 中档题 , 本题综合性较强, 利用平面向量的坐标运算, 确定得到三角函数式, 应用三角公式,将 研究对象化简 , 这是高考要求的基本问题, 应用同角公式的平方关系时, 要特别注意角的范围, 避免 增解或失解。 答案：17、 解析：试题分析 :(1) 所以 , 的最小正周期. (2) 因为的图像和的图像关于直线对称 ,且关于直线对 称的区间为, 则在上的最大值和最小值即在的最大值 和最小值。 , , 当; 当 。即的最大值和最小值分别为和。 另法 : 因为的图像和的图像关于直线对称 , 故 , , 当
14、当时。 点评 : 典型题 , 本题综合性较强, 利用三角公式, 将研究对象“化一” , 是高考要求的基本问题, 在此 基础上 , 进一步研究函数的图象和性质。(II)小题求指定范围内函数的最值,易于出错 , 应结合图象 分析。 答案：18、 解析：试题分析 :( ) 由余弦定理及已知条件得, , 又因为的面积等于,所以, 得. 联立方程组解得, . ( ) 由题意得, 即, 当时, , , , , 当时, 得, 由正弦定理得, 联立方程组解得, . 所以的面积。 点评 : 中档题 , 涉及三角形求边长问题, 往往需要分析已知条件, 灵活选用正弦定理或余弦定理, 有时 需要布列方程组。要注意构成
15、三角形的条件, 注意角的范围。 答案：19、 解析：试题分析 :( ) 对任意的 恒成立 , 因此。同理 , 由即 对任意恒成立 , 因此。所以, 。 ( ) , 时 , 为减函数 , 最小值为1. 令, 则. , , , 在上为增函数 , 其最大值为 。 , 得, 故。 ( ) 由得 设, 则, 令, 由得, 解得, 令得, 则 , 有最小值 0, 且当时, , 方程=0 在内有唯一解。 点评 : 典型题 , 在给定区间 , 导数非负 , 函数为增函数 , 导数非正 , 函数为减函数。涉及“不等式恒成 立”“方程的解”等问题, 往往通过构造函数, 转化成求函数的最值问题, 利用导数加以解决。
16、 20. 答案： 1.6210 xy 2. 函数( )g x在 1 0 x处取得极小值(0)3g, 在 2 3x处取得极大值 3 (3)15gg。 解析： 1. 因 32 ( )1f xxaxbx故 2 ( )32fxxaxb令1x, 得 (1)32fab由已知(1)2fa, 因此322aba, 解得3b。又令2x, 得 (2)124fab, 由已知(2)fb, 因此12 4abb, 解得 3 2 a因此 32 3 ( )31 2 f xxxx, 从而 5 (1) 2 f又因为 3 (1)23 2 f, 故曲线( )yf x处的切 线方程为 5 3(1) 2 yx , 即6210 xy。 2. 由 1 题知 2 ( )(333) x g xxxg, 从而有 2 ( )( 39 ) x g xxx g, 令( )0g x, 得 2
