《1.3 函数的基本性质(人教A版必修1)（2020年12月整理）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.3 函数的基本性质(人教A版必修1)（2020年12月整理）.doc（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3函数的基本性质【入门向导】数学与科技根据人类消耗的能源结构比例图的图象，简要说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测由图象可以看出近150年来人类消耗木材比例一直减少；消耗的煤炭比例先逐渐增多，到1940年左右达到最大值，以后又逐渐变少；从1880年左右开始消耗石油，到1990年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增大，核能从1980年左右开始被应用，所占比例逐渐增大太阳能呢？从图象可以看出100年内，木材一般不会再作为能源消耗，煤炭、石油所占比例在逐渐变小，天然气、核能所占比例在逐
2、渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也逐渐增大解读函数的单调性一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质1这个区间可以是整个定义域如yx在整个定义域(，)上是单调递增的，yx在整个定义域(，)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质2这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如yx22x1在整个定义域(，)上不具有单调性，但是在(，1上是减函数，在(1，)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质3有的函数无单调性如函数y它的定义域是(，)，但无单调性可言，又如yx21，x0,1,2，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性二、单调性的证明与判断
3、函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法严格按照单调性定义进行证明主要步骤有如下五步：(1)取值：定义域中x1，x2的选取，选取x1，x2时必须注意如下三点：x1，x2取值的任意性，即“任意取x1，x2”中，“任意”二字不能省略或丢掉，更不可随意取两个特殊值替代x1，x2；x1与x2有大小，一般规定x1x2；x1与x2同属一个单调区间(2)作差：指求f(x2)f(x1)(3)变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即将中的差式f(x2)f(x1)进一步化简变形，变到利于判断f(x2)f(x1)的正负为止常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等一般变形结果是将和差变形
4、为积商，这样才便于定号(4)定号：根据变形结果，确定f(x2)f(x1)的符号(5)判断：根据x1与x2的大小关系及f(x1)与f(x2)的大小关系，结合单调性定义得出结论例1 证明：函数yx3(xR)是增函数证明设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)xx(x1x2)(xx1x2x)(x1x2)(x1x2)2xx1x2，x1x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)当x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)所以f(x)是奇函数剖析尽管对于定义域内的每一个不为零的x，都有f(x)f(x)成立
5、，但当x0时，f(0)3f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.断函数单调性的方法一、用定义证明函数的单调性例1 证明：函数f(x)在定义域上是减函数证明f(x)的定义域为0，)，设0x10，且f(x2)f(x1)()()，x1x20，f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)f(x)在定义域0，)上是减函数点评(1)有的同学认为由0x1x2，得0多么直接呢，其实这种证明方法不正确，因为我们没有这样的性质作依据其次，这种证明利用了函数y的单调性，而y的单调性，我们没有证明，因此不能直接使用(2)在本题的证明中，我们使用了“分子有理化”这种证明技巧，在今后的学习中，我们还会经常遇
6、到，因此要注意观察这类题目的结构特点，在今后的学习中学会使用这种方法例2 已知定义在(0，)上的函数f(x)对任意x，y(0，)，恒有f(xy)f(x)f(y)，且当0x0，判断f(x)在(0，)上的单调性分析抽象函数单调性的判断要紧扣定义，并且要注意对原题条件的应用解设x1，x2(0，)且x1x2，则f(x1)f(x2)f(x2)f(x2)f()f(x2)f(x2)f()x1，x2(0，)且x1x2，00.f(x1)f(x2)f(x)在(0，)上是减函数二、利用已知函数的单调性判断较复杂函数的单调性例3 求函数f(x)(a0)的单调区间分析此函数可化为f(x)x，可根据y的单调性判断解f(x
7、)x.a0，y的单调递减区间是(，0)和(0，)，yx在R上单调递减，f(x)(a0)的单调区间是(，0)和(0，)点评运用已知的结论，直接得到函数的单调性如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出了解以下结论，对于直接判断函数的单调性有好处：函数yf(x)与函数yf(x)在相对应的区间上的单调性相反当f(x)恒为正或恒为负时，函数y与yf(x)在相对应的区间上的单调性相反在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数等三、图象法例4 求函数yx22|x|3的单调区间分析“脱去”绝对值符号，画出函数图象，由图象观察得出解当x0时，yx22x3(x1)24；当x0时，yx22x3(x1)24.画出图象如图所示：故在(，1和0,1上，函数是增函数；在1,0和1，)上，函数是减函数函数单调性的应用一、比较大小例5 若函数f(x)x2mxn，对任意实数x都有f(2x)f(2x)成立，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大
