《2015年高考数学热点难点试题考纲解读专题专题02函数与方程及函数的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年高考数学热点难点试题考纲解读专题专题02函数与方程及函数的应用（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【2015 年高考考纲解读】2015 高考对本内容的考查主要有：(1)确定函数零点；确定函数零点的个数；根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围(2)函数简单性质的综合考查函数的实际应用问题(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查利用函数性质解决相关的最值题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法【重点、难点剖析】1函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数 f(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点(2)函数的零点与
2、方程根的关系函数 F(x) f(x) g(x)的零点就是方程 f(x) g(x)的根，即函数 y f(x)的图象与函数 y g(x)的图象交点的横坐标来源:学优高考网(3)零点存在性定理如果函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0，且 m0，解得 m .故所求实2数 m 的取值范围是 .( 2， )【特别提醒】解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解【变式探究】 已知函数 f(x)Error!若关于 x 的方程 f(x) k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是_
3、【答案】(0,1)考点二 函数的零点例 2、 (2014江苏)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0,3)时， f(x) .若|x2 2x12|函数 y f(x) a 在区间3,4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_【答案】 (0，12)【方法技巧】1确定函数零点的常用方法(1)解方程判定法，若方程易求解时用此法(2)零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识(3)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问
4、题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解2解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解，常用方法为：(1)利用零点存在性定理及已知条件构建不等式求解(2)分离参数后转化为求某函数的值域或最值(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系，从而构建不等式(组)求解【能力突破】函数模型及应用【例 1】 (2014湖南)某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B.p q2 p 1q 1 12C. D. 1pq p 1q 1【命题意图】本题以实际应用为载
5、体，主要考查增长率问题，结合方程思想和转化思想求年平均增长率，关键是得出方程(1 p)(1 q)a a(1 x)2.【答案】D【方法技巧】1应用函数知识解应用题的步骤(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类(2)用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解(3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答2对函数模型求最值的常用方法单调性法、基本不等式法及导数法【变式探究】已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产
6、 1 千件需另投入 2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装 x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R(x)万元，且 R(x)Error!(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大(注：年利润年销售收入一年总成本)来源:gkstk.Com【答案】 （1） WError!（2）当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大 即 Wmax8.19 931038.6.130W 取得最大值 38.综合知：当 x9 时，W 取得最大值 38.6，故当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌
7、服装的生产中所获的年利润最大【规律方法】(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法【变式探究】如图，建立平面直角坐标系 xOy， x 轴在地平面上， y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程 y kx (1 k2)x2(k0)表示的曲线上，其中 k 与120发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一
8、象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】(1) 10 千米（2）当 a 不超过 6 千米时，可击中目标 .当且仅当 k1 时取等号所以炮的最大射程为 10 千米(2)因为 a0，所以当 a 不超过 6 千米时，可击中目标.【高考预测】1若函数 f(x)x 22x a 没有零点，则实数 a 的取值范围是_ 来源:gkstk.Com【答案】(1，)【解析】由题意知即为方程 x22xa0 无实数解，即 44a0，解得 a1.2已知函数 f(x)Error!则函数 f(x)的零点为_【答案】0【解析】当 x1 时，由
9、 f(x)2 x10，解得 x0；当 x1 时，由 f(x)1log 2 x0，解得x ，又因为 x1，所以此时方程无解综上，函数 f(x)的零点只有 0.123函数 f(x)对一切实数 x 都满足 f f ，并且方程 f(x)0 有三个实根，则这三个实根的和为(12 x) (12 x)_【答案】324已知函数 f(x)对任意的 xR 满足 f(x)f(x)，且当 x0 时，f(x)x 2ax1.若 f(x)有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是_【答案】(2，)【解析】由函数 f(x)对任意的 xR 满足 f(x)f(x)得该函数是偶函数，所以若 f(x)有 4 个零点，则当 x0 时，f
10、 (x)x 2ax 1 有 2 个零点，所以Error!解得 a2，则实数 a 的取值范围是(2，) 来源:学优高考网 gkstk5一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为 40 cm、60 cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是_cm 2.【答案】6006已知函数 f(x)x 22x ， g(x)Error!(1)gf(1)_；(2)若方程 gf(x)a0 的实数根的个数有 4 个，则 a 的取值范围是_【答案】(1)2(2) 1，54)【解析】(1)利用解析式直接求解得 gf(1)g(3) 312；(2)令 f(x) t，则 g(t)a，要使原
11、方程有 4 解，则方程 f(x)t 在 t1 时有 2 个不同解，即函数 yg(t)，t1 与 ya 有两个不同的交点，作出函数 yg(t)，t1 的图象，学优高考网由图象可知 1a 时，函数54yg(t)，t1 与 ya 有两个不同的交点，即所求 a 的取值范围是 .来源:学优高考网1，54)7已知函数 f(x)2ax 22x 3.如果函数 yf(x)在区间 1,1上有零点，则实数 a 的取值范围为_【答案】 来源:学优高考网12， )解得 a .52综上，实数 a 的取值范围为 .12， )8.如图，线段 EF 的长度为 1，端点 E、F 在边长不小于 1 的正方形 ABCD 的四边上滑动
12、，当 E、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点 M 所形成的轨迹为 G，若 G 的周长为 l，其围成的面积为 S，则lS 的最大值为_来源:学优高考网来源:学优高考网 gkstk【答案】549设函数 f(x)ax 2bx b 1(a0)(1)当 a1，b2 时，求函数 f(x)的零点；(2)若对任意 bR，函数 f(x)恒有两个不同零点，求实数 a 的取值范围【答案】(1) 3 和1.(2) (0,1)【解析】(1)当 a1，b2 时，f(x)x 22x3，令 f(x)0，得 x3 或 x1.函数 f(x)的零点为 3 和1.10. 如图，在 C 城周边已有两条公路 l1，l 2 在点
13、 O 处交汇已知 OC( )km，AOB75，2 6AOC45，现规划在公路 l1，l 2 上分别选择 A，B 两处为交汇点(异于点 O)直接修建一条公路通过 C城设 OAx km，OBy km.(1)求 y 关于 x 的函数关系式并指出它的定义域；来源:学优高考网 gkstk(2)试确定点 A，B 的位置，使OAB 的面积最小【答案】(1) y (x2)(2) OA4 km，OB4 km 时，OAB 面积的最小值为 4( 1) km 2.22xx 2 2 3(2)AOB 的面积 S xysin 75 xy (x2 4)12 6 28 3 12 x2x 2 3 12 4x 2 84( 1)3
14、12 3当且仅当 x4 时取等号，此时 y4 .2故 OA4 km，OB4 km 时，OAB 面积的最小值为 4( 1) km 2.2 311如图，现要在边长为 100 m 的正方形 ABCD 内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为 x m(x 不小于 9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为 x2 m 的圆形草15地为了保证道路畅通，岛口宽不小于 60 m，绕岛行驶的路宽均不小于 10 m.(1)求 x 的取值范围；(运算中 取 1.4)2(2)若中间草地的造价为 a 元/m 2，四个花坛的造价为 ax 元/m 2，其余区域的造价为 元/m 2，当 x 取433 12a11何值时，可使“环岛” 的整体造价最低？【答案】(1) 9,15 (2) 当 x10 时，可使“ 环岛”的整体造价最低则 f(x) x34x 224x4254x .(125x2 x 6)
