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1、1数值方法作业1.数列 满足： ， ，当取 =1.41 时，求 的误差。 =101 0=2 0 10解：设： 10=10()解得： =19则： 10=1010( 219)+1910=1010(1.4119)+19=1010=1010(1.41 2)取 2=1.414则： .=1010(1.411.414)=41072.当 =1，-1 ，2 时 = =0，-3，4，求的二次插值多项式。 ()(1) 用单项式基底。(2) 用拉格朗日插值基底。(3) 用牛顿基底。解： = 1，-1，2（ =0，1，2） ； =0，-3 ，4 （ =0， 1，2） () (1)设：()=0+1+22则关于系数 的 3
2、 元线性方程组：0， 1， 20+10+202=(0)0+11+212=(1)0+12+222=(2解方程组得： 0=731=322=56可得： ()=73+32+562(2) 设： ()=00+11+22有两个零点 ， ，故可以表示为：0 1 2 0=(1)(2)其中 为待定系数，由 得： (0)=0= 1(01)(02)2于是 0=(1)(2)(01)(02)同理可得: 1=(0)(2)(10)(12)2=(0)(1)(20)(21)带入 ， 可得： () ()=73+32+562（3）设 ()=0+1(1)+2(1)(+1)则： 0=(0)=01=0,1=322=0,1,2=56带入得:
3、 ()=73+32+562综上可得：三种方法得到的多项式是相同的。3.在一化学反应中，由试验得分解物浓度与时间关系如下：时间 t/s 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55浓度 y/（ ）41*0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64用最小二乘发求 .= ()设： 。=则： 。=+1设： =， =， 1= 。则： 。=+表中数据变为：=1/t 0.2000 0.1000 0.0667 0.0500 0.0400 0.0333 0.0286 0.0250 0.0222 0.0200 0.0182Z
4、=Iny 0.2390 0.7701 1.0508 1.2355 1.3533 1.4231 1.4748 1.5063 1.5217 1.5304 1.5347则： (0,0)=12=11(0,1)=1=0.6040(1,1)=1=0.0623(0,)=1=13.6396(1,)=1=0.5303得到关于 A，b 的方程组：11+0.6040=13.63960.6040+0.0623=0.53033解得： =1.652=7.504则： =5.22综上可得： =5.227.5044.分别用复合 Simpson 求积公式和复合梯形公式求积分：（取 n=4）91并比较两者的精度。解：根据题意：将区
5、间1,9四等分。则 。=914=2(1) 复合 Simpson 求积公式： =61=0()+4(+12)+(+1)=6()+41=0(+12)+21=1()+()=13 1+9+4( 2+4+6+8)+2(3+5+7)=17.3320873(2) 复合梯形公式： =21=0()+(+1)=2()+21=1()+()=1+3+2(3+5+7)=17.2277402(3) 的精确值： 91 91=233291=23(271)=17.3333333综上可得：复合 Simpson 求积公式精度比较高。5. ， 。讨论 的收敛性。1=1 +1=1+1 解： .()=1+1则：当 时， ， .1.5,2
6、()1.5,2 |()|=121所以 是 的压缩映射， 收敛于不动点 .() 1.5,2 即 =1+1 =1+52综上： 收敛于不动点 。1+526.求 的最小正根。=tan解： 与 的图像如下图所示：=tan =40 1 2 3 4 5 6 7-20-15-10-505101520根据图像可得：方程的根处于区间 。，32设： ()=tan则： ()=21=2+1=tan2取： 。0=4.6迭代过程为：k 0 4.61 4.5457321222 4.5061455883 4.4941716304 4.4934121975 4.4934094586 4.493409458当迭代了 6 次之后，得
7、到的值已相当精确。则方程 的最小正根为： 。=tan =4.4934094587.matlab 矩阵基本运算。矩阵 ，通过 matlab 计算可得：= 2 1 25 3 31 0 2A 的值 a=det(A)=-1； A 的迹 b=trace(A)=-3；A 的秩 r=rank(A)=3；A 的范数 N=norm（A）= 7.3918；N= norm(A ，inf)=11； N= norm(V，1)= 1.6970； A 的逆矩阵()=6 2 37 2 43 1 18.matlab 作图：方波的傅里叶变换。5-30 -20 -10 0 10 20 30-101234569.求解初值问题。 =2
8、， 01，(0)=1. 解：运用四阶龙格-库塔公式，取步长 h=0.2，其具体形式为：+1=+6(1+22+23+4)1=22=+212+213=+222+224=+32(+)+3 其计算结果 与准确值 如下表。 () () () ()0.2 1.1832 1.1832 0.6 1.4833 1.4832 1.0 1.7321 1.73210.4 1.3417 1.3416 0.8 1.6125 1.612510.用迭代法求解线性方程组8132+23=2041+1123=3361+32+123=36解：原方程组可改写为：1=18(3223+20)2=111(41+3+33)3=112(6132+36)取 ，带入迭代公式：(0)=(0,0,0)(+1)1 =3()22()3+20)8(+1)2 =(4()1+()3+33)/11(+1)3 =(6()13()2+36)/126(+1)1 =3()22()3+20)8(+1)2 =(4()1+()3+33)/11(+1)3 =(6()13()2+36)/12其中 k 表示迭代次数，迭代到地 10 次有：(10)=(3.000032,1.999838,0.9998813)逼近其精确解： ，其中 ( )。=(3,2,1) (10)=0.000187(10)=(10)
