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1、2015 年春六年级数学下册第三单元解决问题的策略教材分析从三年级上册起，每一册教科书里都教学一种策略，依次是分析量关系的“从条件向问题推理” 和“从问题向条件推理”，帮助理解题意的“列表整理” 和“画图整理”，还有“ 枚举”“ 转化”“ 假设与替换”等策略。本单元没有安排新的策略，只是应用前面教学的策略，解决稍复杂的问题。目的是让学生进一步体会策略在解决新颖问题、复杂问题时的作用，体会解决同一个问题的方法多样、策略灵活，体会各种策略之间的相互配合、相互补充。全单元编排两道例题，具体安排见下表：例 1 把陌生的问题转化成熟悉的问题，体会转化可以多样例 2 通过假设和调整解决问题，体会假设与调整
2、可以多样心理学研究人们是怎样解决数学问题的，发现经常是“模式识别问题转化模型还原”的过程。解题者在感知数学问题、理解题意时，经常会想“这是什么问题？” 通过辨别问题的类型，力求与自己头脑里储存的范例、模型发生某种联系，从而利用已有的知识经验，很快找到解决问题的途径与方法。这就是所谓的“模式识别”。有很多时候，解题者遇到的问题与头脑里储存的范例、模型很不一致，难以检索到可以直接用来解题的思路与方法。面对陌生的、新颖的问题，需要把它适当转化，使转化后的问题便于检索、能够解答。这就是所谓的“问题转化” ，是十分重要的解决问题策略。数学问题最终要利用检索到的数学模型来解决，转化后的问题的答案是不是适合
3、原来的问题，需要将解题的结果放到原问题的情境中进行检验，作出确认或否定。像这样把转化获得的数学模型还原到原来的问题情境中，就是所谓的“模型还原” 。回顾前面的解决问题教学，学生在学习基本思路“条件向问题推理”“问题向条件推理” 时，解答过许多两步计算的实际问题；在学习列表整理、画图整理时，也解答过一些两、三步计算的实际问题；在学习分数和百分数时，解答过大量的分数或百分数实际问题。应该说，在他们的认知结构里储存了较多的问题范例，以及这些问题的解法模型。他们在学习转化策略、假设策略时，初步体会了转化、假设的思想与方法，还进行过一些转化或假设的活动。现在，可以通过“模式识别 ”顺利解决认识的问题，可
4、以通过“ 问题转化”解决不熟悉的问题，可以通过“模型还原” 解题并检验结果，他们解决问题的资源已经相当丰富。本单元让学生利用已有资源继续解决实际问题，进一步提升思维水平，提高解决问题的能力。教学解决问题的策略，一般有两大类内容：一类是传递新知识、新思想、新方法，通过新的内容提高解决问题的能力。另一类是应用已有的解决问题的知识经验、思想方法，加强对策略的体验和方法的领悟，从深刻性、灵活性、综合性上提高解决问题的能力。本单元的编排，体现了后一类的策略教学。（一） 分析某个分数的意义，联系不同的知识，作出不同的推理，给出不同的解法，体会策略和方法的多样性例 1 已知美术组一共有 35 人，男生人数是
5、女生的 2/3，求美术组的男、女生各有多少人。这是一个稍复杂的分数问题，大多数学生应该具有解决问题的经验和能力。教材引导学生“根据题意分析数量关系，想一想可以怎样解答”。题目里只有两个已知数量，分析数量关系的切入口应该是“男生人数是女生的 2/3”。根据 2/3 这个分数的意义，可以画线段图，看出男生人数是美术组总人数的 2/5。原来的问题就转化成美术组一共有 35人，男生人数是总人数的 2/5，女生人数是总人数的 3/5，男生有多少人？女生有多少人？这是简单的求一个数的几分之几是多少的问题。根据分数 2/3 的意义，可以推理出“男生人数和女生人数的比是 23”。原来问题就转化成美术组一共有
6、3/5 人，男生与女生人数的比是 23，男生、女生各有多少人？这是按比例分配问题。学生很可能还有别的想法，如，根据分数 2/3 的意义，想到“ 女生人数看作 3 份，男生人数是 2 份”，于是产生解题思路：先算出 1份是几人，再算 2 份、3 份各是多少人。再如，把作为单位“1”的女生人数设为 x，那么男生人数就是 2/3x，利用美术组一共 35 人，能够列方程解题“选择一种方法列式解答” 是经过“问题转化”以后的“模式识别”。利用已有的模型解决转化后的问题，也就是解答原来的问题。学生采用任何一种解法都可以，但不是要求他们“一题多解”。“检验” 十分重要，应把得数放到原来的问题情境里检验是否正
7、确。即看一看得到的男、女生人数是不是一共 35 人，男生人数是不是相当于女生的 2/3。如果得数能够同时满足这两个条件，就是原来问题的答案。否则，就不是原来问题的答案。教学解决问题的策略，目光不能局限在列式解答以及求出得数上面，要重视策略的选择和使用。从大处讲，多数学生使用转化策略，把一个陌生的、较难的问题转化成熟悉的、会解答的问题，他们选择了相同的解决问题策略。从细处讲，根据“男生人数是女生的 2/3”展开的推理不尽相同：喜欢形象思维的学生可以画线段图，善于抽象思维的学生可以多一些理性思考。学生之间，由于联系了不同的知识，对分数 2/3 就有不同的理解与解释，解题的思路和方法也随之不同。他们
8、在应用转化策略时各有自己的主张。这就体现了转化策略在应用中既是广泛的，又是灵活的。教材要求学生说说“你选择了什么策略，是怎样想的”，希望他们在交流中获得这些体验。所以，组织学生交流，不能停留在怎样解答、算式怎样、结果对不对的上面，而要挖掘深层次的思考，说出为什么转化、怎样转化、联系了什么知识、应用了什么方法通过相互理解和相互评价，体会方法的多样性。还应该看到，解答例 1 时的转化，决定于对分数意义的理解与解释。如果概念准确，概念系统完善，从分数意义出发的推理就严密、流畅，转化也就顺利、有效。反之，如果分数概念模糊，分数和其他数学概念没有建立实质性联系，要想通过推理实现问题的转化将是很难的。为此
9、，练习五第 1 题安排了分数与比的转化练习，要求学生根据示意图里的数量关系，写出分数，并转化成比。或者写出比，再转化成分数。这道题可以看作沟通数学概念之间联系，组建概念系统的练习，有助于问题的转化。教材提倡学生利用图形直观帮助联想，第 2 题根据已知的比或百分数，把线段图补充完整，要求借助线段图，把稍复杂的问题转化成简单的问题，探索原来问题的解法。在线段图上可以联想到的数学信息越多，思维就越开放，问题转化的思路会越开阔，解决问题的资源也就越充分。（二） 解决同一个问题，提出几个不同的假设，采用几种不同的形式，体会策略和方法的多样性例 2 的问题情境是 42 人正好坐满 10 只船，求大船和小船
10、各有几只。这个问题的题意并不复杂，学生能够理解。但是，解法不容易想到，一般的分析数量关系的方法派不上用场。教材问学生“解决这个问题，你准备用什么策略”，不要求说出解题思路和算法，而是鼓励他们从已经学过的列表、画图、枚举、假设和转化策略里自主选择解题方法。正像“辣椒” 卡通的画图、 “萝卜”卡通的列举、 “番茄”卡通的假设那样，每个学生都要有自己的选择，班集体里就会呈现策略多样化。无论用哪种策略解决问题，大船和小船一共 10 只是不能改变的。“辣椒” 卡通画了 10 只大船，每只船上的 5 个圆表示坐 5 人，这些船上一共可以坐 50 人，比实际多了 8 人。于是，从一只船上去掉2 人，把这只大
11、船换成小船；又从另一只船上去掉 2 人，也用小船替换大船像这样替换 4 次，6 只大船和 4 只小船一共乘 42 人，得到了问题的答案。 “萝卜” 卡通的想法是，租船方案可能是 1 只小船和 9 只大船、2 只小船和 8 只大船哪一种方案刚好坐 42 人，就是问题的答案。于是把各种租船可能，有次序地列举在一张表格里，分别计算每一种方案坐的人数，与 42 人比对，逐渐找到问题的答案。 “番茄 ”卡通假设大船和小船都是 5 只，算出这些船一共可以坐40 人，而 40 人比全班人数少 2 人，于是想办法调整大、小船的只数。只要学生有主动解决问题的积极性，班级里一定会有更多的解题形式、更多的假设与验证
12、。提出的假设（或猜想）必须检验，看 10 只船上是不是正好坐 42 人。提出的第一个假设往往不是问题的答案，船上的总人数不是比 42人多，就是比 42 人少，需要调整大、小船的只数。教材把替换留给学生进行，一方面培养检验假设的意识，另一方面体会替换的方向与方法。如果 10 只船上的总人数比 42 人多，表明大船多了、小船少了，要用小船替换大船；如果 10 只船上的总人数比 42 人少，表明大船少了、小船多了，要用大船替换小船。替换时，可以一只一只地调整，用 1 只小船替换 1 只大船，或者用 1 只大船替换 1 只小船，并且及时检验，逐步逼近正确的结果。也可以一下子用 2 只或几只小船（大船）
13、替换 2 只或几只大船（小船） ，加快调整的速度。如果假设的大、小船上乘坐的人数接近 42 人，可以一只一只地调整；如果假设的船上人数与 42 人相差较大，可以每几只一调。解答例 2 采用的策略具有多样性、灵活性和综合性。多样性表现为解决同一个问题，有人画图、有人列表，有人枚举、有人猜想都能形成思路；灵活性表现为可以有不同的假设起点，就像假设 10只大船、假设 1 只小船和 9 只大船、假设 5 只小船和 5 只大船还可以提出其他的假设，都能通过适当的调整得到正确的结果。综合性表现为解题以假设策略为主，还需要其他策略的配合。把假设策略用画图形式表现，便于直观地进行调整；把假设策略用列表形式表现，能看清检验与调整的过程，更便于寻找正确答案。例 2 没有列式计算，主要是两个原因：一是解决问题未必都要列式计算，画图和列表也是解题的方法和形式。教学应该鼓励解题形式多样，发展学生的个性和创造性。二是解答这道题的算式比较难列，算式蕴含的算理比较复杂。如果列式计算，不仅增加了教学的困难，还会削弱替换活动，伤害学生的学习积极性。
