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1、 2.4 函数的零点【学情分析】本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根所以，教学时可首先考虑解决这一问题通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，为了研究更多方程的根，就有必要学习函数的零点如果带着这样的疑问学习，必然会激发其求知欲，从而提高学习的效率零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。【学习内容分析】本节课是在学生学习了一次函数和二次函数的基础上，学习
2、函数与方程的第一课时，通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念及存在个数问题，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节用二分法求函数零点的近似值做准备本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、探究函数零点存在性。 函数零点是研究当函数 的值为零时，相应的自变量 的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与 轴的交点横坐标。由于函数 的值为零亦即 ，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程有解，则函数
3、 存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与 轴的交点横坐标顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。这是函数与方程关系认识的第一步。零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。如果函数 在区间 a,b上的图象是一条不间断的曲线，并且满足 f(a)f(b)0 =0 0,y0 相应 x 的取值，初步了解函数零点的概念。问题 2：通过预习案中二次函数图像表格中，让学生说出对应二次函数零点。进一步了解零点概念。小组合作探究,由学生回答做法，教师作一下点拨,结合二次函数的图像,推广到一般函数零点的定义：一般的，如果函数 y=f(x)在实数 处的值等于零，即 f(
4、)=0,则 叫做这个函数的零点。在坐标系中表示图像与 x 轴的公共点(,0)点。3、点拨指导，理解概念 通过对以上函数的零点的求解，可以得到结论：函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 实数根，亦即函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标函数零点的个数即相应方程实数根的个数，也就是函数图像与 x 轴的交点个数。它们之间存在以下关系：的 零 点是 函 数 xfyx0x0 是方程 f(x)=0 的实根有了上述的等价关系，我们就可用函数的观点看待方程，方程 0xf的根即函数 xfy的零点，可以把解方程的问题互化为思考函数图象与 x 轴的交点问题。这正是函数与方程思想的基础。问题 3：观
5、察右面一段函数图象思考下列问题：零点是一个点的坐标吗？任意函数都有零点吗？如何求函数的零点？通过观察二次函数的图像，函数零点附近函数值是否发生了变化？函数零点有那些性质?说明：通过对以上问题的思考与探究，让学生了解函数零点的概念及性质，但要注意图像在经过零点时，有时穿过 x 轴，有时不穿过。教师要及时给于总结。点明二重零点的定义。教材仅作了解，不深处研究，但它们都是相应方程的根。4、典例剖析，应用概念）轴 有 交 点 （ 的 图 象 与函 数 0,fy问题 4：求下列函数的零点,并画出下列函数的简图。 12xy42xyxxy233说明：求函数零点，体现函数与方程互相转化的思想。求的零点时，学生
6、在解方程时发现有两个相等的根，那对于函数的零点是一个是两个那？学生出现疑惑。这是教师要声音洪亮，中速提出：“方程的根与函数零点个数是相同的。大家看前面二次函数的图像表格中间一列。 ”对于三次方程的求法，要注意能否因式分解。可以利用计算器或计算机准确地作出其图象，理解函数零点的概念。也可以通过画简图，了解图像的变化形式。要注意体现零点性质的应用。为以后学习高次不等式穿根法奠定基础。5、变式拓展，深化概念问题 5：一元二次方程 有没有实根?01209x学生小组合作探讨，3 分钟后举手抢答。说明:通过小组合作探究，体现集体的智慧。对回答积极的小组及时表扬鼓励。对本节课重要知识点-函数零点概念与相应方
7、程根的关系进行更深层的理解。体现“数型结合”,“函数与方程”思想.问题 6：如图，请观察，这是某地在 12 月份几天内的一张气温变化模拟函数图（即一个连续函数图象） ，由于图象中有一段被墨水污染了，现在有人想了解一下在 4 日到 8 日之间可能有几个时刻温度会达到 0 摄氏度，你能帮助他吗？（1）在 4 日8 日（区间4，8）之间温度会不会达到 0 摄氏度呢？为什么？（2）图中，区间(4，8)内肯定会有零点，那么会有几个零点呢？在什么条件下有且只有一个呢？思考:若一个函数图像在区间a，b上是连续的，在什么情况下，图像在区间(a，b)内肯定与 x 轴有交点呢？让学生自己任意画几个函数图象验证自己
8、的猜想.小组讨论后，派代表发言得到的结论，教师整理后得到函数零点的存在性定理：如果函数 xfy在区间 ba,上的图像是不间断的一条曲线，并且有在它的两端点处的函数值异号，即 0bfa，那么函数 xfy在区间 ba,内有零点，即存在 c,使得 c这个 c 也就是方程0xf的根。教师给出这个定理，课后学生还需多画图，讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解及应用。6、自主整理，归纳总结说明:这个环节,学生主动总结本节课学到的知识,将本节课所讲的知识点系统整理，为后面的函数零点的应用奠定基础.7、当堂检测，诊断反馈（1）已知函数 f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点
9、？x -2 -1 0 1 2f(x) -1 1 -1 1 -1(2)判断下列命题的真假：只要函数与 x 轴相交，则相应方程一定有实数根。 （ ）只要方程有实数根，则相对应的函数一定与 x 轴相交。且根的个数与交点个数相同。 （ ）*若函数 f（x）在区间a，b上是连续的，且满足 f(a)f(b)0,则函数 f(x)在a,b上恰有一个零点。 （ ）*若连续函数 f(x)在a,b上有一个零点,则一定有 f(a)f(b)0。 （ ）(带*表示选做)(3).在二次函数 cbxay2中，ac0,则其零点的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D.不存在(5).若 f（x）=（x-1） 2 +1，则
10、y=f（x）-1 的零点个数（ ）A. 0 B.1 C.0 或 1 D. 不确定(6). 求函数 的零点。并作出它的简图。)()2(xxy说明:本环节用时 10 分钟,考完后小组互换,立即批改.发现问题立即纠正,再通过课后作业加以巩固.教师鼓励表扬:根据各小组的课堂表现颁奖-满分卷奖、主动提问奖、问题探讨全面奖。三、课后提升作业反馈，训练巩固作业：课本 72 页练习 A、1.(3)(6)。练习 B 1 .(2)、(3)自主选择，深化提高课本 75 页 习题 2-4A 4、5 导学练 B 组【教后拓展】1、已知函数 f(x)是定义域为的奇函数，且 f(x)在（0，+）上有一个零点，则 f(x)的零点个数为( )A. 1 B. 2 C. 3 D.不确定2、二次函数 y=x2-2 与一次函数 y=x+1 的图像有无交点，若有，那是什么？3、三次方程 x3+2x-6=0 有无实根？【课后反思】这节课上的比较成功，满分率高达 95%。这一堂课通过学生熟悉的一元二次函数入手，体现函数零点与相应方程根的关系，并进行了推广。通过学生的自主探讨，解决了函数零点的存在性问题，激发学生的学习兴趣，提高了课堂效率。同时又培养了学生的自学能力、协作互助能力，以及分析问题、解决问题的能力。
