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1、陈先槟 1 1已知函数dxbacbxaxxf)23()( 23 的图象 如图所示 （I）求 dc, 的值； （II ）若函数 )(xf 在 2x 处的切线方程为0113yx，求函数 )(xf 的解析式； （III ）在（ II）的条件下，函数)(xfy与mxxfy5)( 3 1 的 图象有三个不同的交点，求m的取值范围 2已知函数 )(3ln)(Raaxxaxf （I）求函数)(xf的单调区间； （ II ） 函 数)(xf的 图 象 的 在4x处 切 线 的 斜 率 为, 2 3 若 函 数 2 )( 3 1 )( 23m xfxxxg 在区间（ 1，3）上不是单调函数，求m的取值 范围 3
2、 已知函数 cbxaxxxf 23 )( 的图象经过坐标原点， 且在 1x 处取得极大值 （I）求实数a的取值范围； （II ）若方程 9 ) 32( )( 2 a xf 恰好有两个不同的根，求 )(xf 的解析 式； （ III ） 对 于 （ II ） 中 的 函 数)(xf， 对 任 意R、， 求 证 ： 81|)sin2()sin2(|ff 4已知常数 0a ，e为自然对数的底数，函数xexf x )(， xaxxgln)( 2 （I）写出)(xf的单调递增区间，并证明ae a ； （II ）讨论函数 )(xgy 在区间 ), 1( a e 上零点的个数 5已知函数( )ln(1)(1
3、) 1f xxk x （I）当1k时，求函数( )f x的最大值； （II ）若函数 ( )f x 没有零点，求实数 k 的取值范围； 6已知 2x 是函数 2 ( )(23) x fxxaxae 的一个极值 点（ 718.2e ） （I）求实数a的值； （II ）求函数( )f x在3, 2 3 x的最大值和最小值 7已知函数 )0,( ,ln)2(4)( 2 aRaxaxxxf （I）当 a=18 时，求函数)(xf的单调区间； （II）求函数)(xf在区间, 2 ee上的最小值 8 已知函数 ( )(6)lnf xx xax在(2,)x 上不具有 单调性 （I）求实数a的取值范围； （I
4、I ）若( )fx是( )f x的导函数， 设 2 2 ( )( )6g xfx x ，试证明： 对任意两个不相等正数 12 xx、，不等式 1212 38 |()() | 27 g xg xxx 恒成 立 9已知函数 .1,ln) 1( 2 1 )( 2 axaaxxxf （I）讨论函数 )(xf 的单调性； （II）证明：若 .1 )()( ,),0(,5 21 21 2121 xx xfxf xxxxa有则对任意 10已知函数 21 ( )ln,( )(1),1 2 fxxaxg xaxa （I）若函数( ),( )f xg x在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相 同，求实数a的取
5、值范围； （II ）若 (1, (2.71828)aeeL ，设 ( )( )( )F xf xg x ，求证：当 12 ,1, x xa时，不等式 12 |()() | 1F xF x成立 11设曲线C：( )lnf xxex（2.71828e） ，( )fx表 示( )fx导函数 （I）求函数( )f x的极值； （II ）对于曲线C上的不同两点 11 (,)A xy， 22 (,)B xy， 12 xx，求证： 存在唯一的 0 x 12 (,)x x，使直线AB的斜率等于 0 ()fx 12定义 ),0(,)1 (),(yxxyxF y ， （I）令函数 2 2 ( )(3,log (2
6、4)f xFxx ，写出函数 ( )f x 的定义域； （II）令函数 32 2 ( )(1,log (1)g xFxaxbx的图象为曲线C， 若存在实数b 使得曲线C 在)14( 00 xx 处有斜率为 8 的切线， 求实数a的取值范围； III ）当,*x yN且x y时，求证( , )( , )F x yF y x 答案 1解：函数 )(xf 的导函数为 bacbxaxxf2323)( 2 （2 分） （I）由图可知函数)(xf的图象过点（ 0，3） ，且0) 1( f 得 0 3 02323 3 c d bacba d （4分） （II ）依题意 3)2( f 且 5)2(f 5346
7、48 323412 baba baba 解得 6, 1 ba 所以396)( 23 xxxxf （8 分） （III）9123)( 2 xxxf 可转化为： mxxxxxx534396 223 有三个不等实 根，即： mxxxxg87 23 与x轴有三个交点； 4238143 2 xxxxxg ， x 3 2 , 3 2 4 3 2 ， 4 ，4 xg + 0 - 0 + xg 增极大值减极小值增 mgmg164, 27 68 3 2 （10 分） 陈先槟 2 当且仅当 01640 27 68 3 2 mgmg且 时，有三 个交点， 故而， 27 68 16m为所求（12 分） 2解： （I）
8、 )0( )1( )( x x xa xf （2 分） 当 , 1,1 , 0)(,0减区间为的单调增区间为时xfa 当 ;1 , 0, 1)(,0减区间为的单调增区间为时xfa 当 a=1 时，)(xf不是单调函数（5 分） （II） 32ln2)(,2 2 3 4 3 )4( xxxfa a f得 2)4()( ,2)2 2 ( 3 1 )( 223 xmxxgxx m xxg （6 分） 2)0( ,)3, 1()(gxg且上不是单调函数在区间 . 0)3( , 0)1 ( g g （ 8分 ） , 3 19 , 3 m m （ 10分 ） )3, 3 19 (m（12 分） 3解 （I
9、） ,23)(,00)0( 2 baxxxfcf320)1(abf ),323)(1()32(23)( 2 axxaaxxxf 由 3 32 10)( a xxxf或，因为当1x时取得极 大值， 所以 31 3 32 a a ，所以 )3,( :的取值范围是a ； （II ）由下表： 依题意得： 9 )32( ) 32( 27 6 2 2 a a a ，解得： 9a 所以函数)(xf的解析式是：xxxxf159)( 23 （III ）对任意的实数,都有 ,2sin22,2sin22 在区间 -2，2有： 230368)2(, 7)1(,7430368)2(fff ,7) 1()(fxf的最大值
10、是 7430368)2()(fxf的最小值是 函数 2, 2)(在区间xf上的最大值与最小值的差等于81， 所以 81| )sin2()sin2(|ff 4 解 ：（ I ）01)( x exf， 得)(xf的 单 调 递 增 区 间 是 ), 0( ， （2 分） 0a ， 1)0()(faf ， aae a 1 ， 即 ae a （4 分） （II ） x a x a x x a xxg ) 2 2 )( 2 2 (2 2)( ，由 0)(xg ， 得 2 2a x ，列表 当 2 2a x 时，函数 )(xgy 取极小值 ) 2 ln1( 2 ) 2 2 ( aaa g ，无极大值 由（
11、 I） ae a ， 2 2 a a ee aa ， 2 2 a e a ， 2 2a e a 01)1(g， 0)()( 22 aeaeaeeg aaaa （8 分） （ i ） 当 1 2 2a ， 即 20a 时 ， 函 数 )(xgy 在 区 间 ), 1( a e不存在零点 （ii）当1 2 2a ，即2a时 若0) 2 ln1( 2 aa ， 即ea22时 ， 函 数)(xgy在 区 间 ), 1( a e 不存在零点 若0) 2 ln1( 2 aa ， 即ea2时， 函数)(xgy在区间), 1( a e存 在一个零点ex； 若 0) 2 ln1( 2 aa ， 即ea2时，函数
12、)(xgy在区间), 1( a e存 在两个零点； 综上所述，)(xgy在(1,) a e上，我们有结论： 当0 2ae时，函数( )f x 无零点； 当 2ae 时，函数 ( )f x 有一个零点； 当 2ae时，函数( )f x 有两个零点 5解： （I）当 1k 时， 2 ( ) 1 x fx x x)1 ,( 1 ) 3 32 , 1( a 3 32a ), 3 32 ( a )(xf + 0 - 0 - )(xf 递增 极大值 2a 递减 极小值 2 )32( 27 6 a a 递增 x) 2 2 ,0( a 2 2a ), 2 2 ( a )(xg- 0 + )(xg单调递减极小值
13、单调递增 陈先槟 3 )(xf 定义域为（ 1，+） ，令 ( )0,2fxx得 ，当 (1,2),x时( )0fx，当(2,),x时( )0fx， ( )(1,2)f x 在内是增函数，(2,)在上是减函数 当2x时，( )f x取最大值(2)0f （II ）当 0k时，函数ln(1)yx 图象与函数 (1)1yk x 图 象有公共点， 函数 ( )f x 有零点，不合要求； 当0k时， 1 () 11 ( ) 111 k k x kkx k fxk xxx （6分） 令 1 ( )0, k fxx k 得 ， 1 (1,),( )0, k xfx k 时 1 (1,),( )0 xfx k
14、 时 ， 1 ( )(1,1)f x k 在内是增函数， 1 1,) k 在上是减函数， ( )f x 的最大值是 1 (1)lnfk k ， 函数( )f x没有零点，ln0k，1k， 因此，若函数 ( )f x 没有零点，则实数 k 的取值范围 (1,)k 6 解： （I）由 2 ( )(23) x f xxaxae 可得 22 ( )(2)(23)(2)3 xxx fxxa exaxaexa xae （4 分） 2x 是函数( )f x的一个极值点，(2)0f 2 (5)0ae ，解得 5a （II ）由 0) 1)(2()( x exxxf ，得 )(xf 在 )1 ,( 递增，在 )
15、,2(递增， 由0)(xf，得)(xf在在)2, 1(递减 2 )2(ef 是 ( )f x 在 3, 2 3 x 的最小 值； （8 分） 2 3 4 7 ) 2 3 (ef ， 3 )3(ef ) 2 3 ()3(,0)74( 4 1 4 7 ) 2 3 ()3( 2 3 2 3 3 ffeeeeeff ( )f x 在 3, 2 3 x 的最大值是 3 )3(ef 7解： （） xxxxfln164)( 2 ， x xx x xxf )4)(2(216 42)( 2分 由0)( xf得0)4)(2(xx，解得 4x 或 2x 注意到 0 x ，所以函数 )(xf 的单调递增区间是（4，+
16、） 由0)( xf得0)4)(2(xx，解得 -2x4， 注意到 0 x ，所以函数 )(xf 的单调递减区间是 4,0( . 综上所述，函数 )(xf 的单调增区间是（4，+） ，单调减区间是 4,0( （）在 , 2 eex 时， xaxxxfln)2(4)( 2 所以 x axx x a xxf 2422 42)( 2 ， 设 axxxg242)( 2 当0a时，有 =16+4 208)2(aa， 此时 0)(xg ，所以 0)( xf ， )(xf 在 , 2 ee 上单调递增， 所以 aeeefxf24)()( 2 min 当 0a 时，= 08)2(2416aa ， 令 0)( xf ，即 0242 2 axx ，解得 2 2 1 a x 或 2 2 1 a x ； 令 0)( xf ，即 0242 2 axx ，解得 2 2 1 a 2 2 1 a x . 若 2 2 1 a 2 e ，即a 22 ) 1(2 e 时， )(xf 在区间 , 2
