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1、精品PPT收集整理,第五讲：单变量描述统计,集中趋势测量 离散趋势测量,2,精品PPT可编辑借鉴,知识点：两个维度七个统计量数,3,精品PPT可编辑借鉴,学习要求,1、集中趋势各测量法的计算方法； 2、集中趋势各测量法的特点和应用； 3、离散程度各测量法的计算方法； 4、离散程度各测量法的特点与应用；,4,精品PPT可编辑借鉴,单变量描述统计,在统计分析中，是否可以找出一个有代表性的数值来说明变量的分布，反映资料的集中或差异情况？ 集中趋势测量，就是以一个数值来代表变量的资料分布，反映的是变量值向中心值聚集的程度，也就是说以这一个数值（或称典型值）来估计或预测每一个研究对象的数值时发生的错误总
2、数在理论上是最小的。 离散趋势测量（Measures of dispersion）就是用一个值表示数据之间的差异情况。 离散趋势测量法和集中趋势测量法具有互补作用。在进行统计分析时，既要测量变量的集中趋势，也要测量离散趋势。,5,精品PPT可编辑借鉴,集中趋势测量/分析,集中趋势测量：用某一个典型的变量值或特征值来代表全体变量的问题，这个典型的变量值或特征值就称作集中值或集中趋势。 众值（Mode) 定类层次 中位值（Median)定序层次 均值（Mean) 定距层次,6,精品PPT可编辑借鉴,一、众数（mode）,1、出现频次最多的变量值； 2、众数的不唯一性； 3、主要应用于定类变量，当然
3、也可以应用于定序和定距变量,7,精品PPT可编辑借鉴,众数的特点：不唯一性,原始数据：4、5、7、8、19（无众值） 原始数据：4、5、7、5、5、16（一个众值） 原始数据：4、4、5、7、7、9（两个众值）,8,精品PPT可编辑借鉴,例1：非连续取值,9,精品PPT可编辑借鉴,例2 分组数据,10,精品PPT可编辑借鉴,从分布来看，众数是具有明显集中趋势点的数值，一组数据分布的最高峰点所对应的数值及为众数。,11,精品PPT可编辑借鉴,二、中位值（Median）,1、把一组数据按顺序排列，处于中间位置的那个数值就是中位值。 2、主要应用于定序变量，也可用于定距变量，但不可用于定类变量。,M
4、d,12,精品PPT可编辑借鉴,（1）未分组数据求中位数： Md位置= （2）中位数=中间位置的值 注意：先找位置，再找中位数 将各个个案由低至高排列起来，居序列中央位置的个案值就是中位值。,13,精品PPT可编辑借鉴,（1）、个案数为奇数,【例1】：甲地的5户人家的人数为：2，4，3，6，8，求中位值。 解：Md的位置 3,排序2，3，4，6，8,中位值Md=4,14,精品PPT可编辑借鉴,（2）个案数为偶数,【例2】：乙地的6户人家的人数为：2，4，3，6，8，5求中位值。 解：Md的位置 3.5,排序2，3，4， 5, 6，8,Md= =4.5,15,精品PPT可编辑借鉴,（3）频数分布
5、表,【例3】根据下表求中位值。,解：Md位置 250.5 中位值Md乙,16,精品PPT可编辑借鉴,2、分组数据,根据统计表中的累积百分比，找出含有50%的区间 找出含有50%区间的上界值U，下界值L，上界累计百分数U%，下界累计百分数L%以及组距等信息 根据线段对应成比例的原理，计算出累计百分比为50%的变量值,17,精品PPT可编辑借鉴,L：中位数组的下限 f：中位数组的频数 w：中位数组的组距（U-L） cf：低于中位数组下限的累加次数 n：全部个案数 Md位置=n/2 （上下各50%的位置）,18,精品PPT可编辑借鉴,例：分组数据：,首先将各组的次数累加起来 求中位数的位置： Md位
6、置=n/2 =212/2=106 第106个位置在 25-35之间,19,精品PPT可编辑借鉴,分组变量看作是一组连续的数值,25,94,35,124,?,106,10,30,12,20,精品PPT可编辑借鉴,【例4】： 根据下表数据求中位值。,解：Md位置50； 从累积频数cf栏找到中位数位置所在组为“300400” 引入公式：,=350,21,精品PPT可编辑借鉴,三、均值,1、均值的定义：总体各单位取值之和除以总体单位数目。 2、仅适用于定距变量，不适用于定类和定序；,22,精品PPT可编辑借鉴,1、未分组数据,（1）简单原始资料求均值,23,精品PPT可编辑借鉴,均值的计算未分组数据,
7、【例5】某班10名学生年龄分别为20、21、19、19、20、20、21、22、18、20岁，求他们的平均年龄。,解：根据平均数的计算公式有：,24,精品PPT可编辑借鉴,（2）、加权平均数,某个变项值重复出现多次，可以先统计每个值（x）的次数（f），再求次数与相应变量值的乘积（fx），利用各乘积之和求出均值。（f也称为权数,f/n称为权重） 公式：,25,精品PPT可编辑借鉴,未分组数据加权平均数,【例6】调查某年120名学生的年龄，结果如下表，求平均年龄。,解：根据公式得 18.9岁,26,精品PPT可编辑借鉴,2、分组资料求均值：根据组中值求均值,先求出组中值 组中值=（上限+下限）/2
8、 计算组中值的和 计算分组数据的均值,组中值,27,精品PPT可编辑借鉴,众值、中位数和均值的比较1,注： 表示该数据类型最适合用的测度值,28,精品PPT可编辑借鉴,众数、中位数和平均值的比较,众数是一组数据中出现次数最多的数值。但在社会调查中众数的代表性较小,29,精品PPT可编辑借鉴,中位数和平均数的比较,计算平均数时用到数据中所有的数值，而求中位数时只用到数值的相对位置，平均数比中位数利用了更多的有关数据的信息 平均数容易受到极端值的影响，而中位数则不会受这种影响。当样本中数据值的分布是高度倾斜的，中位数一般比平均数更适合一些 如100，200，400，500，600， 均值为360，
9、中位数为400 100，200，400，500，1000， 均值为440，中位数为400,30,精品PPT可编辑借鉴,对随机抽样调查来说，平均数比中位数更稳定，它随样本的变化比较小 平均数比中位数更容易进行算术运算。,31,精品PPT可编辑借鉴,众数、中位数、均值比较2,但两种情况不宜用均值： (1)分组数据的极端组没有组限。 (2)个别数值非常特殊。,32,精品PPT可编辑借鉴,33,精品PPT可编辑借鉴,练习：,求下表(单项数列)所示数据的算术平均数 。,34,精品PPT可编辑借鉴,求下表所示数据的的算术平均数,35,精品PPT可编辑借鉴,求54，65，78，66，43这些数字的中位数。
10、求54，65，78，66，43，38 这些数字的中位数。,36,精品PPT可编辑借鉴,某年级学生身高如下，求中位数,37,精品PPT可编辑借鉴,求下表中的众数,38,精品PPT可编辑借鉴,求下表中的众数,39,精品PPT可编辑借鉴,城镇自杀率的分组次数分布,40,精品PPT可编辑借鉴,第五讲 单变量的描述统计（2） 离散趋势测量,41,精品PPT可编辑借鉴,离散趋势测量（Measures of dispersion）,反映的是各变量值偏离其中心值的程度，是个案与个案之间的差异情况。 这种测量法，与前面所讲的集中趋势测量法具有相互补充的作用。 集中趋势求出的是一个最能代表变量所有资料的值，但是集
11、中趋势值代表性的高低还要看各个个案之间的差异情况。,42,精品PPT可编辑借鉴,举例：某校3个系各选5名同学参加智力竞赛，他们的成绩如下： 中文系：78，79，80，81，82 （ 80） 数学系：65，72，80，88，95 （ 80） 英语系：35，78，89，98，100 （ 80） 如果仅从集中趋势测量（平均分数）来看，这三个系的成绩都一致，不存在什么差别。 但从直观上可看出，三个系选手之间的差距程度（离散程度）很不一样？,43,精品PPT可编辑借鉴,异众比率/离异比率（Variation ratio) 定类层次 四分位差（Interquartile range)定序层次 方差 （Va
12、riance) 标准差 （Standard deviation)定距层次,44,精品PPT可编辑借鉴,一、异众比率（Variation ratio),1、异众比率(简写Vr) ：指非众值在总数中所占的比率。 表示以众数来预测一组数据时，所犯错误的大小.即Vr值越大,则众值的代表性就越小. Vr值越小,则众值的代表性就越大. 2、计算公式：,：众值的频次,45,精品PPT可编辑借鉴,异众比率(先找出众值.找到众值的频次分布),【例1】：根据表1中的数据，计算众值和异众比率。,解： 众值Mo “核心家庭” 异众比率,46,精品PPT可编辑借鉴,例2：众数和异众比率的比较,表2 甲乙两校学生的父亲职
13、业,甲乙两校学生的父亲职业的众数都为“农民” 甲校 乙校 众数的代表性中甲校小于乙校，甲校中有47.6%非农民，乙校只有38.5%.,47,精品PPT可编辑借鉴,异众比率&众值,异众比率是众值的补充。取值范围是0，1。 不属于众数的个案所占的比例愈大，就表示众数的代表性愈小，以之作估计或预测时所犯的错误也就愈大。 当 Vr 0，说明变量只有一个值，那就是众值； 当 Vr 0，说明资料比较集中，众值的代表性比较高； 当 Vr 1，说明资料比较分散，众值的代表性低。,48,精品PPT可编辑借鉴,二、四分位差（Interquartile range),将数据由低至高排列，然后分为四等分（即每个等分包
14、括25的数据），第一个四分位置的值（ Q1 ）与第三个四分位置的值（Q3）的差异，就是四分位差（简写为Q）。,Q1,Q2,Q3,Q4,25%,25%,25%,25%,49,精品PPT可编辑借鉴,1.离散程度的测度值之一 2.也称为内距或四分间距 3.上四分位数与下四分位数之差 4.反映了中间50%数据的离散程度 5.不受极端值的影响 6.用于衡量中位数的代表性,50,精品PPT可编辑借鉴,基本公式,求位置，找出4分位对应的数值 Q1= Q3= 四分位差Q Q3 Q1。,51,精品PPT可编辑借鉴,1、根据原始未分组资料求四分位差,解： Q1 的位置 =75.25 Q3的位置 225.75 那么
15、 Q1 不满意； Q3 一般 Q Q3 Q1 一般不满意 结论，有一半的家庭对住房评价在不满意到一般之间。,【例3】求下表的四分位差,52,精品PPT可编辑借鉴,例4：调查甲乙两村的家庭人数,其中甲村有11户人家，每户人数为 2，2，3，4，6，9，10，10，11，13，15 乙村有8户人家，每户人口数为 2，3，4，7，9，10，12，12 则甲村中：Q1 位置=（n+1）/4=（11+1)/4=3， Q1 =3 Q3位置=3（n+1)/4=9， Q3=11 Q=Q3-Q1=11-3=8 则乙村中： Q1 位置=（n+1）/4=2.25， Q1 =3+0.25(4-3)=3.25 Q3位置
16、=3（n+1)/4=6.75， Q3=10+0.75(12-10)=11.5 Q=Q3-Q1=11.5-3.25=8.25 甲的离散程度低于乙村，以中位置估计甲乙两村的人口数时，在甲村犯的错误小于乙村,53,精品PPT可编辑借鉴,2、根据分组资料求四分位差,有四步： 计算向上累加次数 求出Q1 和Q3的位置 Q1= Q3= 参考累加次数分布，决定Q1和Q3属于哪一组 从所属组中，计算Q1位置和Q3位置的数值。,54,精品PPT可编辑借鉴,公式如下：,L1=Q1属组之真实下限 L3=Q3属组之真实下限 f1=Q1属组之次数 f3=Q3属组之次数 cf1=低于Q1属组之累计次数 cf3=低于Q3属组之累计次数 w1=Q1属组之组距 w3=Q3属组之组距 n=全部个案数目,55,精品PPT可编辑借鉴,四分位差&中位数,四分位差反映的是中
