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1、2018 年典型高考数学试题解读与变式 考点 6 指数函数图像与性质 一、知识储备汇总与命题规律展望 1. 知识储备汇总: （1）.n 次方根概念与表示 定义一般地，如果xna，那么 x 叫做 a的 n 次方根，其中n 1，且 n N * 性质 KS5UKS5UKS5UKS5 UKS5U 及表 KS5UKS5U 示 KS5UKS5U n 是奇数 KS5UKS5U 正数的 n 次方根是一 个正数 KS5UKS5UKS5UKS5UKS5UKS5U a 的 n 次方根用符号 n a表示 KS5UKS5UKS5UKS5UKS5U.KS5U 负数的 n 次方根是一 个负数 n 是偶数 正数的 n 次方根
2、有两 个，这两个数互为相反 数 正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a表示，负的n 次方根用符号 n a表示正的 n次方根与负的 n 次方根可以合并写成 n a(a0) 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是0，记作 n 00 （2）根式概念 式子 n a叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做被开方数 （3）根式的性质 () nn aa. | |, nn an a a n ， 为奇数 为偶数 ； （4）分数指数幂 1 m n nm a a （ 0,am nN ，且 1n ） ， 1 m n m n a a （ 0,am nN ， 且 1n ） . 0 的正分数指数幂等于0； 0 的负分数
3、指数幂没有意义 （5）无理数指数幂 一般地，无理数指数幂a(a0，是无理数 )是一个确定的实数； （6）实数指数幂的运算性质 (0, ,R) rsrs aaaar s. ()(0, ,) rsrs aaar sR. ()(0,0,) rrr aba babrR. （7）指数函数概念：形如0(aay x 且1a）函数叫指数函数，其中x是自变量，函数 定义域为 R. （8）指数函数图象与性质 yaxa10a0 时， y1； x0 时， 0y0 时， 0y1；x1 （9）指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大. 2. 命题规律展望：指数与指数函数概念、图像、性质是历年的热点和重点，常以指数函数及
4、 其图像与性质为载体，考查指数型函数定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等图像与性 质，特别是以指数函数为载体的复合函数更是考查的重点，难度既有容易题也有中档题还有 难题，分值常为5 分. 二、题型与相关高考题解读 1.指数运算 1.1 考题展示与解读 例 1 【2017 山东， 文 14】 已知 f(x)是定义在R 上的偶函数 ,且 f(x+4)=f(x-2).若当 3,0 x时, ( )6 x f x,则 f(919)= . 【命题意图探究】本题主要考查函数的周期性、奇偶性及指数运算，是容易题. 【答案】6 【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知 ,fx是周期函数 ,且6T,所以 (91
5、9)(66531)(1)fff( 1)6f. 【解题能力要求】转化与化归思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】对与奇偶性、 周期性有关的指数函数求值问题，常利用周期性与奇偶性将 所求函数值转化为在给定区域函数的求值问题，代入即可求出值. 1.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】已知0a且1a，函数 1 3 log,0 ,0 x x x fx ab x ，满足02f， 13f，则3ff（） A. -3B. -2C. 3D. 2 【答案】 B 【解析】由02f，13f可得 1 12,3bab，可得 1 ,1 2 ab，那么 3 1 3 1 319log 92 2 ffff 故本题选B 【变式
6、 2： 改编结论】已知函数, 若, 则（） A B C D 【答案】 B 【解析】当时 , 即, 则；当时 , ,即, 不合题意 , 故, 应选 B 【变式 3：改编问法】已知 1 2 20 log0 x x fx xx ， ， ，则4ff 【答案】 1 4 2.比较指数值大小 2.1 考题展示与解读 例 2【2016 高考新课标3 理数】已知 4 3 2a， 2 5 4b， 1 3 25c，则（） （A）bac（B）abc（C）bca（D）cab 【命题意图探究】本题主要考查指数函数与幂函数的图象与性质，是容易题. 【答案】 A 【解析】因为 422 335 244ab， 122 333 2
7、554ca，所以bac，故选 A 1),3(log 1, 12 )( 2 1 xx x xf x 1)(af)1 (af 22 11 1a112 1a 2a24log)1(2af1a 1)3(log2a 2 5 a)1 (af2 【解题能力要求】转化与化归思想、运算求解能力 【方法技巧归纳】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、 幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指 数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解 决 2.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】若0,01,abc则（） A
8、. loglog cc abB. loglog ab ccC. ab ccD. cc ab 【答案】 D 【 解 析 】 因 为0,01abc， 由 , 对 数 函 数 的 性 质 可 得loglog cc ab， loglog ab cc错误，由指数函数的单调性可得 ab cc错误，由幂函数的单调性可得 cc ab 正确，故选D. 【变式 2：改编结论】已知实数x，y满足 xy aa（01a） ，则下列关系式恒成立的 是（） A. B. 22 ln1ln1xy C. sinsinxyD. 33 xy 【答案】 D 【变式 3：改编问法】【2017 届湖南省衡阳市二次联考】设01a， e为自然
9、对数的底 数，则 a ， e a ，1 a e的大小关系为（） A. 1 ae eaaB. 1 ea aaeC. 1 ea aeaD. 1 ae aea 【答案】 B 【解析】因为01a，所以 1 a ee ，1 e a, 故1 a e最大，而当01a时， x ya 为递减函数，所以 e aa，故选 B 3.含指数型函数的图象应用 3.1 考题展示与解读 例 3【2015 高考湖南，文14】若函数( )|22| x fxb有两个零点，则实数b的取值范围 是_. 【命题意图探究】本题主要考查指数函数图像、图像变换应用及函数零点，是基础题. 【答案】02b 【解析】由函数( )| 22 | x f
10、 xb有两个零点，可得| 22| x b有两个不等的根，从而可 得函数|22| x y函数yb的图象有两个交点，结合函数的图象可得，02b，故答 案为：02b. 【解题能力要求】转化与化归思想、数形结合思想 【方法技巧归纳】已知函数有零点( 方程有根 ) 求参数取值范围常用的方法 (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决 (3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形 结合求解 3.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】函数 2 2log x fxx
11、的零点个数为 ( ) A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】 C 【解析】令2 x y， 2 logyx，在同一直角坐标系，作出函数2 x y与 2 logyx 的图像，如下图 由图像可知，函数 22log x fxx的零点个数为 2 个. 【变式 2： 改编结论】若函数log2 (0,1) x a fxxaa的两个零点是,m n ， 则 （） A. 1mnB. 1mnC. 1mnD. 以上都不对 【答案】 C 【变式 3：改编问法】函数 2 1 2 x fxx 的大致图象是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由01f可排除 D，由2440f，416 160f，可排 A， C，
12、故选 B. 4.指数型函数性质 4.1 考题展示与解读 例 4【2017 北京，理5】 已知函数 1 ( )3( ) 3 xx f x，则( )f x （A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R 上是增函数 （C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R 上是减函数 【命题意图探究】本题主要考查指数性质及函数的奇偶性与单调性. 【答案】 A 【解析】 11 33 33 xx xx fxfx ，所以函数是奇函数，并且 3 x 是增函 数， 1 3 x 是减函数，根据增函数 -减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 【解题能力要求】运算求解能力 【方法技巧归纳】对指数型函数
13、性质的问题，对奇偶性的问题，利用奇偶性定义和指数运算 进行判定，对已知函数性质，求参数问题，可以用特值法. 4.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】2018 届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校第一次联考下列函数中， 既是偶函数，又在0,上单调递增的是（） A. ln1yxB. 1 yx x C. cosx y x D. xx yee 【答案】 D 【变式 2：改编结论】若函数 2 1 2 x fx a 是奇函数，则使 1 3 fx成立的x的取值 范围是 _ 【答案】1, 【解析】由题意得 22 011012101 22 x xx fxfxaa aa 所以 21 1221 213 x x
14、x 【变式 3： 改编问法】 函数 1 x b fxa e (,a bR) 是奇函数， 且图像经过点 1 ln3, 2 ， 则函数fx的值域为 ( ) A. 1,1B. 2,2C. 3,3D. 4,4 【答案】 A 【解析】函数为奇函数，则：00 2 b fa， 函数过点 1 ln3, 2 ，则： 1 ln31 42 b f， 结合可得 ：1,2ab， 则 2 1 1 x fx e ， 结合函数的单调性可得函数单调递增 ， 且当0a时 2 1101 1 x e ， 结合奇函数的性质可得函数的值域为1,1，故选 A. 5.指数型函数与不等式 5.1 考题展示与解读 例 5【2017 课标 3，理
15、 15】设函数 10 ( ) 20 x xx f x x ， ， 则满足 1 ( )()1 2 f xf x的 x 的取值 范围是 _. 【命题意图探究】本题主要考查分段函数、复合函数及函数不等式，是中档题. 【答案】 1 , 4 【解析】令 1 2 g xfxfx， 当0 x时， 13 2 22 g xfxfxx ， 当 1 0 2 x时， 11 2 22 x g xfxfxx ， 当 1 2 x时， 11 21 2 2 x g xfxfx ， 写成分段函数的形式： 1 3 2,0 2 111 2,0 222 1 21 2, 2 x x xx g xfxfxxx x ， 函数g x在区间 1
16、1 ,0 , 0, 22 三段区间内均单调递增， 且： 00 111 1,201,2121 42 g， 据此 x 的取值范围是： 1 , 4 . 【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力、转化与化归思想 【方法技巧归纳】对分段函数不等式问题，通过分类整合化为不等式组问题求解，对简单的 指数不等式问题， 常利用指数不等式的性质，把超越不等式化为一元一次不等式或一元二次 不等式求解 . 5.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】已知函数 1 3 log,0, 2 ,0, x x x fx x 若 1 2 fa，则实数a的取值范围 是（） A. 1,03,B. 1, 3C. 3 1,0, 3 D. 3 1, 3 【答案】 D 【解析】当时，则；当时， ，则，综上，实数 a 的取值范围是. 【变式2：改编结论】设?(?) = ( 1 2) ?- ?3，已
