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1、1 第一章解三角形 一、选择题 1在ABC中，(1)2 sinbaB;(2) ()()(22)abc bcabc, (3) 3 2a, 0 3,30 ;cC (4) sincosBA ba ;则可求得角 0 45A的是（） A （ 1） 、 （2） 、 （4）B （1） 、 （3） 、 （4）C （2） 、 （3）D （2） 、 （4） 2在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A10b，45A，70CB60a，48c，60B C14a，16b，45AD7a，5b，80A 3在ABC中，若12cb，45C，30B，则（） A2, 1 cb；B1,2 cb； C 2 2 1, 2
2、 2 cb；D 2 2 , 2 2 1cb 4在 ABC 中，已知 5 cos 13 A， 3 sin 5 B，则cosC的值为（） A. 16 65 或 56 65 B. 16 65 C . 56 65 D. 16 65 5如果满足60ABC，12AC，kBC的 ABC恰有一个，那么k的取值范围是（） A38kB120kC12kD120k或38k 二、填空题 6在ABC中，5a，60A o ， 15C，则此三角形的最大边的长为 7在ABC中，已知3b，33c，30B，则a_ _ 8若钝角三角形三边长为1a、2a、3a，则a的取值范围是 9在 ABC 中， AB=3 ，BC=13，AC=4 ，
3、则边 AC 上的高为 10. 在ABC中， （ 1）若AABC2sin)sin(sin，则ABC的形状是. （2）若 sinA= CB CB coscos sinsin ，则ABC的形状是. 2 三、解答题 11. 已知在ABC中 , 6 cos 3 A, ,a b c分别是角,A B C所对的边 . ()求tan2A；()若 2 2 sin() 23 B,2 2c,求ABC的面积 . 解 : 12. 在 ABC 中，cba,分别为角A、B、C 的对边， 5 8222bc bca，a=3, ABC 的面积为 6， D 为 ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d。 求角 A 的正弦值；求边
4、b、c；求 d 的取值范围 解： 3 13在ABC中，,A B C的对边分别为, , ,a b c且cos,cos, cosaC bB cA成等差数列 . （I）求 B 的值；（II）求 2 2sincos()AAC的范围。 解： 14在斜三角形ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且 AA CA ac cab cossin )cos( 222 . (1) 求角 A；(2) 若2 cos sin C B ，求角 C 的取值范围。 解: 4 15在 ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为a，b，c，且 tan2 1 tan Ac Bb （）求角A；（）若m u r (0,1)，
5、n r 2 cos , 2cos 2 C B，试求mn u rr 的最小值 解： 16如图所示， a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点 A 处有一个水声监测点，另两个监测 点 B，C 分别在 A 的正东方 20 km 处和 54 km 处某时刻，监测点B 收到发自静止目标P的一个声波， 8s 后监测点 A， 20 s后监测点 C 相继收到这一信号 在当时气象条件下， 声波在水中的传播速度是1. 5 km/s. （ 1）设 A 到 P 的距离为xkm，用x表示 B,C 到 P 的距离，并求x值； （ 2）求静止目标P 到海防警戒线a 的距离（结果精确到0.1 km） 解： 5 高一下
6、期中数学复习：必修第一章解三角形参考答案 一、选择题 1在ABC中，(1)2 sinbaB;(2) ()()(22)abc bcabc, (3) 3 2a, 0 3,30 ;cC (4) sincosBA ba ;则可求得角 0 45A的是（D） A （ 1） 、 （2） 、 （4）B （1） 、 （3） 、 （4）C （2） 、 （3）D （2） 、 （4） 2在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（C） A10b，45A，70CB60a，48c，60B C14a，16b，45AD7a，5b，80A 3在ABC中，若12cb，45C，30B，则（A） A2, 1 cb；B1,2
7、cb； C 2 2 1, 2 2 cb；D 2 2 , 2 2 1cb 4在 ABC 中，已知 5 cos 13 A， 3 sin 5 B，则cosC的值为（B ） A. 16 65 或 56 65 B. 16 65 C . 56 65 D. 16 65 5如果满足60ABC，12AC，kBC的 ABC恰有一个，那么k的取值范围是（D） A38kB120kC12kD120k或38k 二、填空题 6在ABC中，5a，60A o ， 15C，则此三角形的最大边的长为 6 21565 7在ABC中，已知3b，33c，30B，则a_6 或 3_ 8若钝角三角形三边长为1a、2a、3a，则a的取值范围是
8、(0,2) 9在 ABC 中， AB=3 ，BC=13，AC=4 ，则边 AC 上的高为 2 33 10. 在ABC中， （ 1）若AABC2sin)sin(sin，则ABC的形状是等腰三角形. （2）若 sinA= CB CB coscos sinsin ，则 ABC 的形状是直角三角形. 6 三、解答题 11. 已知在ABC中 , 6 cos 3 A, ,a b c分别是角,A B C所对的边 . ()求tan2A；()若 2 2 sin() 23 B,2 2c,求ABC的面积 . 解 : ()因为 6 cos 3 A, 3 sin 3 A,则 2 tan 2 A, 2 2tan tan2
9、2 2 1tan A A A . ()由 2 2 sin() 23 B,得 2 2 cos 3 B, 1 sin 3 B, 则 6 sinsin()sincoscossin 3 CABABAB, sin 2 sin cA a C , ABC的面积为 12 2 sin 23 SacB. 12. 在 ABC 中，cba,分别为角A、B、C 的对边， 5 8222bc bca，a=3, ABC 的面积为 6， D 为 ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d。 求角 A 的正弦值；求边 b、c；求 d 的取值范围 解： (1) 5 8 222 bc bca 5 4 2 222 bc acb 5 4
10、 cos A 5 3 sin A (2)6 5 3 2 1 sin 2 1 bcAbcS ABC ，bc20, 由 5 4 2 222 bc acb 及bc20 与a=3 解得 b=4，c=5 或 b=5,c= 4 . (3)设 D 到三边的距离分别为x、y、z， 则6)543( 2 1 zyxS ABC, )2( 5 1 5 12 yxzyxd , 又 x、y 满足 ， ， ， 0 0 1243 y x yx , 画出不等式表示的平面区域得：4 5 12 d . 7 13在ABC中，,A B C的对边分别为, , ,a b c且cos,cos, cosaC bB cA成等差数列 . （I）求
11、 B 的值；（II）求 2 2sincos()AAC的范围。 解： （I）Qcos, cos, cosaC bB cA成等差数列， coscos2 cosaCcAbB. 由正弦定理得，2sin,2sin,2sin.aRA bRB cRC 代入得，2sincos2 cossin4sincosRACRACRBB,即：sin()sinACB sin2sincosBBB. 又在ABC中，sin0B， 1 cos 2 B,Q0B， 3 B. （II）Q 3 B， 2 3 AC 2 2 2sincos()1 cos2cos(2) 3 AACAA 1333 1cos2cos2sin 21sin 2cos2
12、2222 AAAAA13 sin(2) 3 A. Q 2 0 3 A，2 33 A, 3 sin(2)1 23 A, 2 2sincos()AAC的范围是 1 (,13 2 . 14在斜三角形ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且 AA CA ac cab cossin )cos( 222 . (1) 求角 A；(2) 若2 cos sin C B ，求角 C 的取值范围。 解: 222 2cos , bac B ac cos()2cos , sincossin 2 ACB AAA 又 222 cos() sincos bacAC acAA ， 2cos 2cos, sin2
13、 B B A 而ABC 为斜三角形， cosB0 ， sin2A=1 . (0,)A， 2, 24 AA. 3 4 BC ， 3 33 sin sincoscossin sin4 44 coscoscos C CC B CCC , 22 tan2 22 C 即 tan1C， 3 0 4 C， 42 C. 8 15在 ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为a，b，c，且 tan2 1 tan Ac Bb （）求角A；（）若m u r (0,1)，n r 2 cos , 2cos 2 C B，试求mn u rr 的最小值 解： （） tan2sincos2sin 11 tansincossin
14、AcABC BbBAB ， 即 sincossincos2sin sincossin BAABC BAB ， sin()2sin sincossin ABC BAB ， 1 cos 2 A 0 A ， 3 A . （）mn u rr 2 (cos,2cos1)(cos,cos) 2 C BBC ， 2 mn u rr 222221 coscoscoscos ()1sin(2) 326 BCBBB 3 A， 2 3 BC， 2 (0,) 3 B从而 7 2 666 B 当 sin(2) 6 B 1，即 3 B时， 2 mn u rr 取得最小值 1 2 故mn u rr min 2 2 16如图
15、所示， a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点 A 处有一个水声监测点，另两个监测 点 B，C 分别在 A 的正东方 20 km 处和 54 km 处某时刻，监测点B 收到发自静止目标P的一个声波， 8s 后监测点 A， 20 s后监测点 C 相继收到这一信号 在当时气象条件下， 声波在水中的传播速度是1. 5 km/s. （1）设 A 到 P 的距离为xkm，用x表示 B,C 到 P 的距离，并求x值； （2）求静止目标P到海防警戒线a 的距离（结果精确到0.1 km） 解： (1)依题意， PAPB=1. 5 8=12 (km) ，PC PB=1.520=30（km ） 因此PB（ x 一 12）km，PC=（18 x）km. 在 PAB 中， AB= 20 km ， 222222 20(12)332 cos 22205 PAABPBxxx PAB PA ABxx 同理，在 PAC 中， 72 cos 3 x PAC x 由于coscosPABPAC 即 33272 53 xx xx 解得 132 7 x（km） (2)作 PDa,垂足为 D. 在 RtPDA 中， PD =PAcosAPD=PAcos PAB = 132 332 332 7 55 x x x 17.7（ km） 答：静止目标P 到海防警戒线a的距离约为17. 7km.
