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1、高中数学必修二重要知识点系统归纳 第一章、简单的空间几何体 （一）空间几何体的结构特征（熟悉） （1）多面体由若干个平面多边形围成的几何体. (2) 旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1 棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱 . 2.1 棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的 几何体叫做
2、棱锥。 2.2 圆锥以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥。 3.1 棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2 圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1 球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。（了解） 2.三视图正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而 画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观
3、图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性 不变，平行于x 轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线 段长度减半。 （掌握） (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 圆柱的表面积（重点记忆） 圆锥的表面积 2 Srlr（重点记忆） 圆台的表面积 22 SrlrRlR球的表面积 2 4SR 扇形的面积公式 2 1 3602 n R Slr 扇形 （其中 l 表示弧长，r表示半径） 2、空间几何体的体积 柱体的体积VSh 底锥体
4、的体积 1 3 VSh 底 台体的体积 1 ) 3 VSS SSh 下下上上 （球体的体积 34 3 VR 第二章、空间点线面的位置关系知识点归纳 一、基本公理（熟悉） 1平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平 面内 , , A Bl A B l 2平面的基本性质公理2（确定平面的依据） 经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 3平面的基本性质公理2 的推论 （1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面 4平面的基本性质公理3 如果两个不重合的平
5、面有一个公共点，那么它们还有其他公共点， 这些公共点的 集合是一条直线 2 22rrlS A A l Al I 5异面直线的定义与判定 （1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行 （2）判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是 异面直线 二、 直线与平面平行判定及其性质 （1）线面平行的判定定理 如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行 a， b，/ / /aba （2）线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行 / /l，l，/ /mlmI 三平面
6、与平面平行判定及其性质 1, 面面平行的判定定理 (1) 如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面 平行 a， b， abAI， / /a，/ / /b （2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 （线线平行面面平行） ， （3）垂直于同一条直线的两个平面平行， a，/ /a 2, 面面平行的性质定理 (1) 如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面 / /，/ /aa (2) 如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行 （面面平行 线线平行） / /，aI，/ /babI 四.直线与平面垂直的判定及其
7、性质 1.直线和平面垂直定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互 相垂直，记作.直线 叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面 的交点叫垂足 . 2.直线和平面垂直的判定定理 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 符号语言： 特征：线线垂直线面垂直 注意：要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否 找出两条相交直线和已知直线垂直， 至于这两条相交直线是否和已知直线有公共 点，则无关紧要 . 3、推论： 如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也 垂直于这个平面 . 4 直线与平面垂直的性质 (1
8、).基本性质 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. (2).性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 五、 平面与平面垂直的判定及其性质 (1)斜线与平面成的角 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这 个平面内的射影 .平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角 . （2）.二面角定义 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直 线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个 半平面叫做
9、二面角的面 . 表示方法： 棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为 了方便，也可在内(棱以外的半平面部分 )分别取点，将这个二面角记 作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或 . （3）.二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点， 以该点为垂足， 在两个半平面内分别作垂直于棱 的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角. 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度， 就说这 个二面角是多少度 .平面角是直角的二面角叫做直二面角. （4）.平面与平面垂直定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作. 画法： 两个互相
10、垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂 直.如图： (5).平面与平面垂直的判定定理 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 特征：线面垂直面面垂直 （6） 平面与平面垂直的性质 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 第三章、直线方程知识点归纳 1. 直线的倾斜角： 倾斜角的范围： 2直线的斜率： （1）定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜 率， 即tan(90)； （注意） 倾斜角为 90的直线没有斜率。 3. 直线的方程： （1）点斜式 ：已知直线过点斜率为，则直线方程为, 它不包括垂直于轴的直线。
11、 （2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为, 它不包括垂直于轴的直线。 （3）两点式 ：已知直线经过、两点，则直线方程为 ，它不包括垂直于坐标轴的直线。 （4）截距式 ：已知直线在轴和轴上的截距为, 则直线方程为， 它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 （5）一般式 ：任何直线均可写成(A,B 不同时为 0)的形式。 二、必备公式 （1）过两点的直线的斜率公式： （2）两点间距离公式：设是平面直角 坐标系中的两个点， 则 （3）点到直线的距离 （4）两平行线间的距离为。 第四章、圆的方程 【一】 、圆的定义及其方程 （1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹
12、 )叫做圆，定点叫 做圆心，定长就是半径； （圆心是定位条件，半径是定型条件） （2）圆的标准方程：)0()()( 222 rrbyax；圆心),(ba，半径为r； 圆 的 一 般 方 程 ：)04(0 2222 FEDFEyDxyx； 圆 心 ) 2 , 2 ( ED ，半径为FED4 2 122 ； 【二】 、点与圆的位置关系 （仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后 按同样方法处理） 设),( 00 yxP与圆 222 )()(rbyax；若 P 到圆心之距为 d ； P 在在圆 C 外 22 0 2 0 )()(rbyaxrd； P 在在圆 C 内 22 0 2 0 )()(rb
13、yaxrd； P 在在圆 C 上 22 0 2 0 )()(rbyaxrd； 【三】 、直线与圆的位置关系 ： 设直线0:CByAxl和圆 222 )()(:rbyaxC， 圆心 C 到直线 l 之距 为 d ，由直线 l 和圆 C 联立方程组消去x（或 y ）后，所得一元二次方程的判别 式为，则它们的位置关系如下： 相离0rd；相切0rd；相交0rd； 注意：这里用 d 与r的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简 便的方法；利用判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关 系都适应。 【四】 、两圆的位置关系： （1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同 的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相 切；若无实数解，两圆相离。 （2）几何法：设圆 1 O的半径为 1 r，圆 2 O的半径为 2 r 两圆外离 2121 |rrOO； 两圆外切 2121 |rrOO； 两圆相交 212112 |rrOOrr； 两圆内切| 1221 rrOO； 两圆内含| 1221 rrOO；
