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1、7.1不等关系与不等式2014高考会这样考1.考查有关不等式的命题真假及数式的大小比较；2.考查和函数、数列等知识的综合应用复习备考要这样做1.熟练掌握不等式的性质，并会正确理解和应用；2.对含参数的不等式，要把握分类讨论的标准和技巧1不等式在现实世界和日常生活中，存在着大量的不等关系，不等式是刻画不等关系的数学模型2两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，bR)；(2)作商法 (aR，b0)3不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd；(4)可乘法：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6
2、)可开方：ab0 (nN，n2)难点正本疑点清源1在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点(1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有ab0ab，ab0ab，ab0ab，bc，则ac，这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明ac，选择中间量b，在证出ab，cb后，就误认为能得到ac.(4)同向不等式可相加，但不能相减，即由ab，cd，可以得出acbd，但不能得出acbd.2理解不等式的思想和方法(1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意，要注意强化(2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算(3)通过复习要强
3、化不等式“运算”的条件如ab、cd在什么条件下才能推出acbd.(4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系1已知ab0，且cd0，则与的大小关系是_答案解析ab0，cd0，0， .2已知a0，1bab2a解析由1b0，可得bb21.又aab2a.3限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是_答案v40 km/h4若mn，pq且(pm)(pn)0，(qm)(qn)0，则m，n，p，q从小到大的顺序是_答案mpqn解析将p，q看成变量，则有mpn，mqn，mpqb1，c；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是_
4、答案解析根据不等式的性质构造函数求解ab1，.又c，故正确构造函数yxc.cb1，acb1，c0，acbc1.ab1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，即logb(ac)loga(bc)，故正确.题型一不等式性质的应用例1已知，求，的取值范围思维启迪：不等式性质的应用是本题的突破点解因为，所以，.所以，.因为，所以0.故0.探究提高(1)利用不等式的性质求范围要充分利用题设中的条件，如本题中的条件；(2)注意“”形式，利用不等式要正确变形 已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(答案用区间表示)答案(3,8)解析设2x3ym(xy)n(xy)，解得2x3y(xy)(
5、xy)，1xy4,2xy3，2(xy)，5(xy)，3(xy)(xy)8，即32x3y8，所以z2x3y的取值范围为(3,8)题型二比较大小问题例2已知a1且aR，试比较与1a的大小思维启迪：要判断与1a的大小，只需研究它们差的符号解(1a)，当a0时，0，1a.当a0，1a.当a1时，0，1a.探究提高实数的大小比较常常转化为对它们差(简称作差法)的符号的判定，当解析式里面含有字母时常需分类讨论 (2012四川)设a，b为正实数现有下列命题：若a2b21，则ab1；若1，则ab1；若|1，则|ab|1；若|a3b3|1，则|ab|1，不合题意，故正确中，1，只需abab即可如取a2，b满足上
6、式，但ab1，故错中，a，b为正实数，所以|1，且|ab|()()|1，故错中，|a3b3|(ab)(a2abb2)|ab|(a2abb2)1.若|ab|1，不妨取ab1，则必有a2abb21，不合题意，故正确题型三不等式与函数、方程的综合问题 例3已知f(x)是定义在(，4上的减函数，是否存在实数m，使得f(msin x)f对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由思维启迪：不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域解假设实数m存在，依题意，可得即因为sin x的最小值为1，且(sin x)2的最大值为0，要满足题意，必须有解得m或m3.所以
7、实数m的取值范围是.探究提高不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，mf(x)恒成立，只需mf(x)min. 已知a、b、c是实数，试比较a2b2c2与abbcca的大小解方法一(作差法)a2b2c2(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)20，当且仅当abc时取等号，a2b2c2abbcca.方法二(函数法)记ta2b2c2(abbcca)a2(bc)ab2c2bc，(bc)24(b2c2bc)3b23c26bc3(bc)20，t0对aR恒成立，即a2b2c2abbcca.不等式变形中扩大范围致误典例：(14分)已知1lg 2,2lg 3，求lg 的取值范围易错分析根据不等式性质先解出lg
8、 x，lg y的范围，再求lg的范围，错误原因是lg x，lg y的最值不一定能同时取到，这种做法可能扩大所求范围审题视角(1)注意已知条件1lg 2,2lg 3.(2)分析lg 与lg 、lg 的线性关系(3)先将它们表示成lg x、lg y的线性关系规范解答解由变形，得3分令解得5分lg3lg xlg y3ba.7分由得10分ba3，即lg3.12分lg的取值范围是.14分温馨提醒(1)此类问题的一般解法是：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过”一次性“使用不等式的运算求得整体范围；(2)本题也可以利用线性规划思想求解；(3)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围方法
9、与技巧1用同向不等式求差的范围adxybc这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到2倒数关系在不等式中的作用.3比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比差法的主要步骤为：作差变形判断正负在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商失误与防范1abacbc或abacb或a，当ab0时不成立3abanbn对于正数a、b才成立4.1ab，对于正数a、b才成立5注意不等式性质中“”与“”的区别，如：ab，bcac，其中ac不能推出.6求范围问题要整体代换，“一次性”使用不等式性质，注意不要扩大变量的取值范围A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5
10、分，共35分)1下面四个条件中，使ab成立的充分不必要的条件是_(填序号)ab1; ab1； a2b2; a3b3.答案解析由ab1，得ab1b，即ab，而由ab不能得出ab1，因此，使ab成立的充分不必要条件是ab1.不等式是其充要条件，故错误2对于实数a，b，c有下列命题：若ab，则acbc2，则ab；若ab，则a0，b0，不成立；由ac2bc2知c20，则ab，正确；当ab时，0，则a0，bcb解析0lg elg e(lg e)2.acb.4已知pa，qx22，其中a2，xR，则p，q的大小关系是_答案pq解析paa22224，当且仅当a3时取等号因为x222，所以qx2224，当且仅当x0时取等号所以pq.5(2011天津改编)设x，yR，则“x2且y2”是“x2y24”的_条件答案充分不必要解析x2且y2，x2y24，“x2且y2”是“x2y24”的充分条件；而x2y24不一定得出x2且y2，例如当x2且y2时，x2y24亦成立，故“x2且y2”不是“x2y24”的必要条件“x2且y2”是“x2y24”的充分不必要条件6若角、满足，则2的取值范围是_答案解析，2，2，又2()，2a
