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1、1,第五节 向量值函数在定向曲面上的积分(第二类曲面积分),一、第二类曲面积分的概念与性质,二、第二类曲面积分的计算法,2,一、第二类曲面积分的概念与性质1、定向曲面及其法向量,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,能区分出曲面的侧 的曲面叫做双侧曲面.,(1) 曲面的分类:,1)双侧曲面;,2)单侧曲面.,3,典型双侧曲面,4, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),5,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,6,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,7,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,8,典型单
2、侧曲面:,莫比乌斯带,9,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,10,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,11,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,12,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,13,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,14,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,15,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,16,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,17,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,18,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,19,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,20,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,21,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,22,在双侧曲面上选定某一侧，这种选定了侧的双侧曲面称为定向曲面.,用表示选定了某个侧的定向曲面，,则选定其相反侧的定向曲面用 表示.,注
3、意： 与 是不同的曲面.,(2) 定向曲面,23,由方程 z = z(x,y) 表示的曲面分上侧和下侧，,由方程 x = x(y,z) 表示的曲面分前侧和后侧，,由方程 y = y(z,x) 表示的曲面分左侧和右侧，,封闭曲面分内侧和外侧.,24,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,规定:定向曲面上任一点处的法向量的方向总是 指向曲面取定的一侧.,25,类似地：,26,27,其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示 :,28,定向曲面的投影:,29,2、引例,实例: 流
4、向曲面一侧的流量.,30,2、引例,实例: 流向曲面一侧的流量.,31,32,1. 分割,则该点流速为 .,法向量为 .,33,3. 求和,2. 取近似值,4.取极限,34,35,若记,则,36,3、第二类曲面积分的定义,37,38,39,4. 第二类曲面积分的另一种表达式,40,41,简称 y z 型积分,简称 z x 型积分,简称 x y 型积分,42,5.若是封闭曲面，则在上的第二类曲面积分可记为,6. 第二类曲面积分存在的条件:,43,7.物理意义:,流速为,的流体，在单位时间内流向指定侧的流量 .,44,8. 第二类曲面积分的性质:,即第二类曲面积分与积分曲面的方向有关.,1) 线性
5、性质,3) 设 的反侧曲面记为 ，则：,45,二、第二类曲面积分的计算法,1. 分面投影法 (分三个积分进行计算),简称 y z 型积分,简称 z x 型积分,简称 x y 型积分,46,下面计算 x y 型积分,47,4. 第二类曲面积分的另一种表达式,48,(上正下负),“一投,二代,三定号”,49,(前正后负),(右正左负),50,解,51,解,52,53,注意:,1.,2.,计算第二类曲面积分,还必须注意曲面所取的侧.,3.,54,55,56,解, = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ，其中,1 ：z =0，Dxy：x2 + y2 1 ，x 0， y 0，取下侧，,2 ：x =0，
6、Dyz：0 y 1 ，0 z 1，取后侧，,3 ：y =0，Dxz：0 x 1 ，0 z 1，取左侧，,4 ：z =1，Dxy：x2 + y2 1 ，x 0， y 0，取上侧，,5 : x2 + y2 =1，Dxz：0 x 1 ，0 z 1，取外侧 .,57,58,59,两类曲面积分之间的关系：,60,2. 合一投影法(适用于定向曲面上各点处的法向量有统一的表达式),61,62,解：,原式,63,64,65,解,66,67,3. 化为第一类曲面积分计算(一般适用于积分曲面是定向平面),68,69,是平面,在第四卦限部分的上侧 , 计算,提示:,求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分,70,71,三、小结,1、物理意义,2、计算时应注意以下两点,“一投,二代,三定号”,72,思考题,73,思考题解答,此时 的左侧为负侧，,而 的左侧为正侧.,74,练 习 题,75,76,练习题答案,
