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1、双曲线的标准方程及其性质,1.椭圆的定义,|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0),温故知新, 两个定点F1、F2双曲线的焦点;, |F1F2|=2c 双曲线的焦距.,平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值等于常数（小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线。,（1）若2a=2c,则轨迹是什么？,（2）若2a2c,则轨迹是什么？,思考：定义中的2a有何限制？为什么？,（3）若2a=0,则轨迹是什么？,| |MF1| - |MF2| | = 2a,(1)两条射线,(2)不表示任何轨迹,(3)线段F1F2的垂直平分线,双曲线的定义,概念加强,1.动点P到点M(-2,0)的距离减去到点N(2
2、,0)的距离 之差为3，则点P轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线,B,2.动点P到点M(-2,0)的距离减去到点N(2,0)的距离 之差的绝对值为4，则点P轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线,c,双曲线,双曲线的右支,x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。,跟踪检测,下列方程分别表示什么曲线?,椭圆,答：谁的系数为正，焦点就在哪个轴上。,思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？,| |MF1| - |MF2| | = 2a,双曲线的标准方程,思前想后,双曲线的定义与方程,A,写出适合下列条件的双
3、曲线的标准方程：,1. 焦点为(0, -6)、(0, 6)，且经过点(2, 5)； 2. a=4，过点(1, ) 3. 经过点,双曲线标准方程的求法,求椭圆和双曲线标准方程的一般方法：,几何定义法,待定系数法,模糊假设法,焦点三角形,听课手册P140,例1(1).,A,焦点三角形基本思路：,1.曲线定义；,2.余弦定理；,3.面积公式.,4.双曲线的焦点三角形面积：,2、对称性,研究双曲线 的简单几何性质,1、范围,关于x轴、y轴和原点都是对称。,x轴、y轴是双曲线的对称轴， 原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。,(-x,-y),(-x,y),(x,y),(x,-y),双曲线的性质,3、顶点,
4、（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。,双曲线的性质,M(x,y),双曲线的渐近线,N(x,y),慢慢靠近，但永远不能达到。,双曲线在第一象限部分的方程为：,双曲线的渐近线,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为：,我们把方程右端的1变为0，则有：,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为：,我们把方程右端的1变为0，则有：,焦点在y轴上的双曲线的渐近线,1、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线 的离心率为 。 2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角 为_。,跟踪检测,0表示焦点在x轴上的双曲线； 0表示焦点在y轴上的双曲线。,共渐近线的双曲线方程,与 有相同渐近线的双曲线方程我们可以假设为：,其
5、中：,为什么可以这样做？,求与 有相同渐近线，且过点 的双曲线方程。,跟踪检测,解：,双曲线与 有相同的渐近线，则可设其方程为：,所以,解得,于是所求双曲线的方程为：,解：,椭圆的焦点在x轴上，且坐标为,双曲线的渐近线方程为,解得：,求与椭圆 有相同焦点，渐近线方程为 的双曲线方程。,跟踪检测,由题意得双曲线的渐近线方程为 ，且其焦点在x轴上，则可设其方程为：,即：,所以：,解得：,于是，所求双曲线的标准方程为：,渐近线的意义,双曲线离心率的求法,双曲线 的半焦距为c，直线l过点 ，原点到直线l的距离为 ，求双曲线的离心率。,双曲线离心率的求法,（1）根据条件得到关于a,b,c的方程表达式。,（2）将b转化为a,c。（常两边平方）,（4）得到离心率。,（3）求出a,c之间的关系。（构造 ）,求离心率的一般思路：,直线与双曲线的位置关系,思考：直线与双曲线可能有几个公共点？,两个：,一个：,零个：,相交,与一支相切,相交且与渐近线平行,不相交不相切,直线与双曲线的位置关系,双曲线 与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值。,变式演练,若过双曲线 的右焦点F2作直线与双曲线的两支都相交，求直线l的倾斜角的取值范围。,变式演练,已知直线y=kx+2与双曲线 的右支交于不同的两点，求k的取值范围。,焦点弦与通径,中点弦与弦长公式,B,
