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1、8.6 多元函数的极值及其求法,主要内容 1、多元函数泰勒公式 2、多元函数的极值和最值 3、条件极值拉格朗日乘数法,一元函数的泰勒公式：,8.6 多元函数泰勒公式与极值,一、问题的提出,引入函数,显然,利用一元函数的麦克劳林公式，得,由 的定义及多元复合函数的求导法则,可得,(*),二、二元函数的泰勒公式,一般地,记号,其中,上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.,例 1,解,其中,1、多元函数极值的定义,设PRn, 函数u=f(p)在p0的某邻域U(p0, )内有 定义，对任何p U(p0, ), , 都有f(p)f(p0), 称 函数 u=f(p)在p0点有极小值。,(1),(2),(3)
2、,例1,例,例,极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.,2、多元函数取得极值的条件,证,注：1）极值点处的切平面平行于xoy平面； 2）使一阶偏导数同时为零的点，称为 函数的驻点.,驻点,极值点,如何判定驻点是否为极值点？,注意：,求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,3、多元函数的最值,第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为M， 最小者为m故M=25，m=9,解,(舍去x1),解,由, x=y,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,实例： 张三有200元钱
3、，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,四、条件极值拉格朗日乘数法,条件极值：对自变量有附加条件的极值,解,则, 2x=3y, y=2z,解,可得,即,1. 在椭圆 上求一点，使其到直线,的距离最短。,解 设P(x，y)为椭圆 上任意一点，则P到直线,的距离为,求d 的最小值点即求 的最小值点。作,由Lagrange乘数法，令,得方程组,解此方程组得,于是,由问题的实际意义最短距离存在，因此 即为所求点。,3.,解,分析:,得,思 考,
