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1、1,3）Poisson 分布,如果随机变量X 的分布律为,则称随机变量 X 服从参数为的Poisson 分布,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,2,分布律的验证, 由于,可知对任意的自然数 k，有,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量, 又由幂级数的展开式，可知,所以,是分布律,3,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,l = 0,5,l = 2,l = 5,l = 10,4,Poisson 分布的应用,Poisson分布是概率论中重要的分布之一 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从 Poisson分布 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔 内收到的呼叫次数，放射物在
2、某一时间间隔 内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产 生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台 要求服务的人数，等等，在一定条件下，都 是服从Poisson分布的,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,5,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,如果随机变量X 的分布律为,试确定未知常数c .,例8,由分布律的性质有,解：,6,例 9 设随机变量 X 服从参数为的Poisson分布， 且已知,解： 随机变量 X 的分布律为,由已知,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,7,得,由此得方程,得解,所以，,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,8,例 10,第二章 随机变量及其
3、分布,2离散型随机变量,9,解：设 B= 此人在一年中得3次感冒 ,则由Bayes公式，得,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,_,=,10,例11 实验器皿中产生甲乙两种细菌的机会是相等的, 且产生的细菌数X 服从参数为的泊松分布,试求： (1) 产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率； (2) 在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率。,解（1）,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,表示产生了k个细菌， k=0，1，2， ,设B表示产生了甲类细菌但没有乙类细菌，,则它们构成了样本空间的可列划分.,由全概率公式有,11,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机
4、变量,（2）设C表示产生了细菌而没有甲类细菌，由（1）知,设D表示有两个乙类细菌，则,12,Poisson 定理,证明：,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,13,对于固定的 k，有,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,所以，,14,应用Poisson定理：,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,15,例 12 设每次射击命中目标的概率为0.02，现射击400 次，求至少命中2次目标的概率（用Poisson分布近似 计算）,第二章 随机变量及其分布,解：,此例再一次说明,小概率事件迟早会发生.,16,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,例 13 某车间有100 台
5、车床独立地工作着，发生故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台车床的故障可由一个人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保证当车床发生故障但不能及时维修的概率不超过 0.05 ？,解：设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台 数为 X ，,则 X B(100，0.01），,取值，使得：,需要确定最小的 N 的,满足上式的最小的 N 是 3 , 因此至少需配备 3个工人。,17,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,例 14 保险公司售出某种寿险（一年）保单2500份.每单交保费100元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险公司获得2万元的赔偿.若此类被保人一年内死亡的概率为0.00
6、1，求 （1）保险公司亏本的概率； （2）保险公司获利多于10万元的概率.,解：设此类被保人一年内死亡的人数为 X ，,则 X B(2500，0.001）.,18,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,例 14（续）,（1）P(保险公司亏本),（2）P(保险公司获利多于10万元),19,4）几 何 分 布,若随机变量 X 的分布律为,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,20,分 布 律 的 验 证, 由条件, 由条件可知,综上所述，可知,是一分布律,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,21,几何分布的概率背景,在Bernoulli试验中，,试验进行到 A 首次出现为止,第
7、二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,即,22,例 15 对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为 0.64，射击进行到击中目标时为止， X表示所需射击次 数。试求 (1) 随机变量 X 的分布律；（2） X 取偶数的 概率；（3）至少进行2次射击才能击中目标的概率 解：,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,23,5）超 几 何 分 布,如果随机变量 X 的分布律为,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,24,超几何分布的概率背景,一批产品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件为正品现从中取出 n 件 令 X：取出 n 件产品中的次品数 则 X 的分 布律为,2离
8、散型随机变量,第二章 随机变量及其分布,25,第二章 随机变量及其分布,思考题：若商店里某一时间段里来的顾客人数服从泊松分布，参数为，而每个顾客买电视的概率为，且各顾客之间是否买电视彼此间没有关系，求这一时间段卖出k台电视的概率。( ),26,2离散型随机变量,第二章 随机变量及其分布,本节小结：,1）离散型随机变量的分布律及其性质； 2）两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布；,要求：,1）掌握分布律的性质； 2）熟练运用两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布这几个分布模型解决实际问题。特别是二项分布。,27,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,分布函数的定义 分布函数的性质,
9、28,一、分布函数的定义,1）定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数， 函数,称为 X 的分布函数,对于任意的实数 x1, x2 (x1 x2) ，有：,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,29,解：,2） 例 子,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,当 x -2 时，,30,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,31,同理当,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,32,分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,) 处有跳跃，其跳 跃值为 pk=PX= xk.,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,说 明：
10、,33,例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并 设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试 求随机变量 X 的分布函数.,解：,（1） 若 x 0, 则,（2）,X,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,是不可能事件，,34,（3） 若 , 则 是必然事件，于是,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,35,0 1 2 3,1,F(x),x,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,36,二、 分 布 函 数 的 性 质,1）性质： 分别观察离散型、连续型分布函数的图象， 可以 看出，分布函数
11、 F(x) 具有以下基本性质：,（1） F (x) 是一个单调不减的函数,0 1 2 3,1,F(x),x,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,37,（2）,（3）,-1 0 1 2 3 x,1,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,38,2）用分布函数计算某些事件的概率,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,39,用分布函数计算某些事件的概率（续）,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,40,例 3,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,(4),(5),(6),41,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,(5),(6),42,例4 设随机变量 X 的分布函数为,解： 由分布函数的性质，我们有,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,43,例 4（续）,解方程组,得解,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,44,例5 设有均匀陀螺，圆周半圆上标有刻度1，另半圆周上均匀刻0，1）诸数字，求陀螺旋转后停下时触及桌面上的点的刻度 X 的分布函数。,解：,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,45,3 随机变量的分布函数,第二章 随机变量及其分布,本节小结：,1）分布函数的定义及性质；,2）用分布函数计算某些事件的概率，特别是,
