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1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系 2019 考纲考题考情 1平面的基本性质 2.空间两直线的位置关系 (2)平行公理： 公理 4：平行于同一直线的两条直线互相平行 空间平 行线的传递性。 (3)等角定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 或互补。 (4)异面直线所成的角： 定义：设 a、b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直 线 a a，b b，把 a 与 b 所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线a 与 b 所成的角 (或夹角 )。 范围：。 ( 0， 2 3直线与平面的位置关系 1公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
2、推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面。 2异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直 线是异面直线。 3两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易 忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等 于其补角。 一、走进教材 1(必修 2P43练习 T1改编)下列命题中正确的是() A过三点确定一个平面 B四边形是平面图形 C三条直线两两相交则确定一个平面 D两个相交平面把空间分成四个区域 解析 对于 A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平 面，故 A 错误；对于 B，四边形也可能是空间四边形
3、，不一定是 平面图形，故B 错误；对于 C，三条直线两两相交，可以确定一 个平面或三个平面，故C 错误；对于 D，平面是无限延展的，两 个相交平面把空间分成四个区域，故D 正确。 答案 D 2(必修 2P49练习题 )若直线 a 不平行于平面 ，且 a? ，则 下列结论成立的是 () A内的所有直线与a 异面 B内不存在与 a 平行的直线 C内存在唯一的直线与a 平行 D内的直线与 a 都相交 解析 若直线 a 不平行于平面 ，且 a? ，则线面相交， A 选项不正确， 内存在直线与a 相交； B 选项正确， 内的直线 与直线 a 的位置关系是相交或者异面，不可能平行；C 选项不正 确，因为
4、内的直线与直线a 的位置关系是相交或者异面，不可 能平行； D 选项不正确， 内只有过直线a 与平面的交点的直线 与 a 相交。故选 B。 答案 B 二、走近高考 3(2018 全国卷 )在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为棱 CC1的中点，则异面直线AE 与 CD 所成角的正切值为 ( ) AB 2 2 3 2 CD 5 2 7 2 解析 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，CDAB，所以异面 直线 AE 与 CD 所成角为 EAB，设正方体棱长为2a，则由 E 为 棱 CC1的中点，可得CEa，所以 BEa。又由 AB平面5 BCC1B1，可得 ABBE，所以 tanEAB。故
5、选 BE AB 5a 2a 5 2 C。 答案 C 4(2016 全国卷 )平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶 点 A， 平面 CB1D1， 平面 ABCDm， 平面 ABB1A1 n，则 m，n 所成角的正弦值为 ( ) AB 3 2 2 2 CD 3 3 1 3 解析 在正方体ABCDA1B1C1D1外依次再作两个一样的 正方体，如图所示， 易知 AEB1D1，AFCD1，所以平面 AEF 平面 CB1D1，即平面 AEF 就是过点 A 的平面 ，所以 AE 为平面 与平面 ABCD 的交线，即为 m，AF 为平面 与平面 ABB1A1的 交线，即为 n， 所以 m， n 所成角
6、即为 AE 与 AF 所成角，也是 B1D1 与 CD1所成角，为 CD1B1。而 CD1B1为等边三角形，因此 CD1B1 ，所以 sinCD1B1。 3 3 2 答案 A 三、走出误区 微提醒：对等角定理条件认识不清致误；缺乏空间想象 能力致误。 5若AOB A1O1B1，且 OAO1A1，OA 与 O1A1的方向 相同，则下列结论中正确的是() AOBO1B1且方向相同 BOBO1B1 COB 与 O1B1不平行 DOB 与 O1B1不一定平行 解析 两角相等， 角的一边平行且方向相同，另一边不一定 平行，故选 D。 答案 D 6已知直线a 和平面 ， ， l，a? ，a? ，且 a 在
7、 ， 内的射影分别为直线b和 c， 则直线 b和 c的位置关系是 () A相交或平行B相交或异面 C平行或异面D相交、平行或异面 解析 依题意， 直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或 异面。故选 D。 答案 D 7如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上， 且 ABCD，则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平 面个数为 _。 解析 EF 与正方体左、右两侧面均平行。所以与EF 相交 的平面有 4 个。 答案 4 考点一平面的基本性质 【例 1】在正方体 ABCDA1B1C1D1中，判断下列说法是 否正确，并说明理由。 (1)直线 AC1在平面 CC1B1B 内； (2
8、)设正方形 ABCD 与正方形 A1B1C1D1的中心分别为O，O1， 则平面 AA1C1C 与平面 BB1D1D 的交线为 OO1； (3)由点 A，O，C 可以确定一个平面； (4)由 A，C1，B1确定的平面是ADC1B1； (5)设直线 l 是平面 ABCD 内的直线，直线 m是平面 DD1C1C 内的直线，若l 与 m 相交，则交点一定在直线CD 上。 解(1)错误。若 AC1? 平面 CC1B1B，又 BC? 平面 CC1B1B， 则 A 平面 CC1B1B， 且 B 平 面 CC1B1B， 所以 AB? 平 面 CC1B1B，与 AB?平面 CC1B1B 矛盾，故 (1)中说法错
9、误。 (2)正确。因为O，O1是两平面的两个公共点，所以平面 AA1C1C 与平面 BB1D1D 的交线为 OO1。 (3)错误。因为 A，O，C 三点共线，所以不能确定一个平面。 (4)正确。因为 A，C1，B1不共线，所以A，C1，B1三点可确 定平面 ，又四边形 AB1C1D 为平行四边形， AC1， B1D 相交于 O2 点，而 O2 ，B1 ，所以 B1O2? ，又 DB1O2，所以 D 。 (5)正确。若 l 与 m 相交，则交点是两平面的公共点，而直线 CD 为两平面的交线，所以交点一定在直线CD 上。 1三个公理是立体几何的基础。公理1 是确定直线在平面 内的依据；公理 2 是
10、利用点或直线确定平面的依据；公理3 是确 定两个平面有一条交线的依据，同时也是证明多点共线、多线共 点的依据。 2证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直 线上，也就是利用公理3，证明点在两个平面的交线上，或者选 择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在该直线上。 【变式训练】 (1)在空间四边形ABCD 各边 AB，BC，CD， DA 上分别取 E，F，G，H 四点，如果 EF，GH 相交于点 P，那 么( ) A点 P 必在直线 AC 上 B点 P 必在直线 BD 上 C点 P 必在平面 DBC 内 D点 P 必在平面 ABC 外 (2)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是
11、所在棱的中 点，则这四个点不共面的一个图是( ) 解析 (1)如图，因为EF? 平面 ABC，而 GH? 平面 ADC， 且 EF 和 GH 相交于点 P，所以 P 在两面的交线上，因为AC 是 两平面的交线，所以点P 必在直线 AC 上。 (2)A、B、C 图中四点一定共面，D 中四点不共面。 答案 (1)A (2)D 考点二空间两条直线的位置关系微点小专题 方向 1：异面直线的判定 【例 2】(2019 益阳、湘潭调研考试)下图中， G，N，M，H 分别是正三棱柱 (两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的 中点，则表示直线GH，MN 是异面直线的图形有() AB CD 解析 由题意，
12、可知题图中， GHMN，因此直线 GH 与 MN 共面；题图中， G，H，N 三点共面，但M?平面 GHN，因 此直线 GH 与 MN 异面；题图中，连接MG，则 GMHN，因 此直线 GH 与 MN 共面；题图中，连接GN，G，M，N 三点共 面，但 H?平面 GMN，所以直线 GH 与 MN 异面。故选C。 答案 C 异面直线的判定方法 1反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平 行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定 假设，肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。 2定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不 经过点 B 的直线是异面直线。
13、方向 2：平行垂直的判定 【例 3】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N 分 别是 BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是() AMN 与 CC1垂直BMN 与 AC 垂直 CMN 与 BD 平行DMN 与 A1B1平行 解析 如图，连接 C1D，则 C1D 过点 N，在C1DB 中，MN BD，故 C 正确；因为CC1平面 ABCD，所以 CC1BD，所 以 MN 与 CC1垂直，故 A 正确；因为 ACBD，MNBD，所以 MN 与 AC 垂直，故 B 正确；因为 A1B1与 BD 异面， MNBD， 所以 MN 与 A1B1不可能平行，故D 错误。 答案 D 线线平行或垂
14、直的判定方法 1对于平行直线， 可利用三角形 (梯形 )中位线的性质、 公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理来判断。 2对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直 得到线线垂直。 【题点对应练】 1(方向 1)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N 分 别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线。 其中正确的结论为 _(注：把正确结论的序号都填上)。 解析 A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B 中，但 C?平 面 AD1
15、C1B，因此直线AM 与 CC1是异面直线，同理AM 与 BN 也是异面直线，AM 与 DD1也是异面直线；错误，正确； M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但 N?平面 MBB1，因 此直线 BN 与 MB 1是异面直线，正确。 答案 2(方向 2)若 m，n 为两条不重合的直线， ，为两个不重 合的平面，则下列命题中正确的是( ) 若直线 m，n 都平行于平面 ，则 m，n 一定不是相交直 线； 若直线 m，n 都垂直于平面 ，则 m，n 一定是平行直线； 已知平面 ，互相垂直， 且直线 m，n 也互相垂直， 若 m ，则 n ； 若直线 m，n 在平面 内的射影互相垂直，则mn。
16、AB CD 解析 对于，m 与 n 可能平行， 可能相交， 也可能异面， 错误；对于，由线面垂直的性质定理可知，m 与 n 一定平行， 故正确；对于，还有可能n或 n 与 相交，错误；对 于，把 m，n 放入正方体中，如图，取A1B 为 m，B1C 为 n， 平面 ABCD 为平面 ，则 m 与 n 在 内的射影分别为AB 与 BC， 且 ABBC。而 m 与 n 所成的角为 60 ，故错误。 答案 A 考点三异面直线所成的角 【例 4】 如图所示，三棱锥 PABC 中， PA平面 ABC， BAC60 ，PAABAC2，E 是 PC 的中点。 (1)求证： AE 与 PB 是异面直线； (2)求异面直线 AE 与 PB 所成角的余弦值。 解(1)证明：假设AE 与 PB 共面，设平面为 ，因为 A ，B ，E ， 所以平面 即为平面 ABE， 所以 P平面 ABE，这与 P?平面 ABE 矛盾， 所以 AE 与 PB 是异面直线。 (2)取 BC 的中点
